Simmetria del Nucleolo

[david_e1]

Probabilmente questa sarà una banalità, ma io sono abbastanza cieco su queste cose e se non ci metto mano come S.Tommaso non ci credo!

Proposizione Sia $(N,p)$ un TU-game tale che esistono $i,j \in N$ tali che:

$ p(A\cup\{i\}) = p(A\cup\{j\}) \qquad \forall A \in 2^N, A \subseteq \{ i, j \}^C $

allora $\nu_i=\nu_j$. Indicando con $\nu$ il nucleolo del gioco.

Dimostrazione Per assurdo sia $\nu_i > \nu_j$. Definiamo:

$ \nu_k' = {(\nu_k \qquad k\ne i \text{ e } j),(\nu_i \qquad k=j),(\nu_j \qquad k=i):} $

indico con $e(A,x)$ il lamento della coalizione $A$ data l'imputazione $x$:

$ e(A,x) = p(A) - \sum_{i \in A} x_i $

Osserviamo che:

- $A \subseteq \{i,j\}^c \implies e(A,\nu)=e(A,\nu')$
- $\{i,j\} \subseteq A \implies e(A,\nu)=e(A,\nu')$

rimangono fuori solo le coalizioni che contengono uno solo dei due giocatori. Definiamo:

$ \mathcal{M} = \{ A \in 2^N \ : \ A \subseteq \{i,j\}^c \} $

e:

$ \nu(\lambda) = \lambda \nu' + (1-\lambda) \nu \qquad \lambda \in (0,1) $

osserviamo che per ogni $A \in \mathcal{M}$ e ogni $\lambda \in (0,1)$ (estremi esclusi!) si ha:

$ e(A\cup \{i\},\nu) > e(A\cup \{i\},\nu(\lambda)) > e(A\cup\{i\},\nu') $
$ e(A\cup \{j\},\nu) < e(A\cup \{j\},\nu(\lambda)) < e(A\cup\{j\},\nu') = e(A\cup\{i\},\nu) $

da cui ne deduciamo che, fissato un certo $\lambda \in (0,1)$:

$ e(A,\nu)=e(A,\nu(\lambda)) \qquad \forall A \ : \ A \in \mathcal{M} \text{ o } \{i,j\} \subseteq A$

in oltre per ogni $A\in\mathcal{M}$ si ha:

$ e(A\cup\{i\},\nu) > e(A\cup \{i\},\nu(\lambda)) $

ed:

$ e(A\cup \{j\},\nu) < e(A\cup \{j\},\nu(\lambda)) < e(A\cup\{i\},\nu) $

che nega l'ipotesi che $\nu$ sia il nucleolo.

PS: Ho usato $p$ anziché $v$ per indicare la funzione dei pagamenti laterali perché, almeno con i miei font, è impossibile distinguere 'v' da '\nu' usando MathML.

[Fioravante Patrone1]

Sorry,
non ho tempo "ora" per controllare la tua dimostrazione.

Che il nucleolo sia simmetrico è noto.
E' anche riportato qui (nota a pag. 11):
http://centres.fusl.ac.be/CEREC/documen ... aGames.pdf
E anche in questi (buoni) appunti in rete (pag. 24):
http://www.math.ucla.edu/~tom/Game_Theory/coal.pdf

Comunque, voler dimostrare un fatto vero è già consolante. E' più facile che provare a dimostrare un fatto falso.

[david_e1]

Ah ecco... e' che non ero molto convinto di questo fatto: una delle poche cose che ho capito della TdG e' che bisogna stare molto attenti a dare per scontate delle proprieta', perche' poi puo' accadere di tutto...

Grazie 1000 per i link. Mi saranno certamente utili!