Problema sui costi
Tizio vuole produrre 100 panchine da giardino alla settimana in due impianti di produzione. Le funzioni di costo dei due impianti sono $C_1 = 600Q_1 - 3(Q_1)^2$ e $C_2 = 650Q_2 - 2(Q_2)^2$. Qual è l'allocazione migliore dell'output fra i due impianti?
Ho ricopiato integralmente il testo perché penso ci sia un errore: le funzioni di costo dovrebbero essere $C_1 = 600Q_1 +3(Q_1)^2$ e $C_2 = 650Q_2 + 2(Q_2)^2$ (non ha senso ci sia il meno, altrimenti per una certa quantità di output verrebbe un costo toale negativo e sarebbe assurdo).
Io poi ho proceduto così: i costi marginali dei due impianti sono $MC_1 = 600+6Q_1$ e $MC_2 = 650 +4Q_2$. Per capire come distribuire l'output tra i due impianti si uguagliano i costi marginali dell'uno e dell'altro, perché se fossero diversi, ad esempio $MC_1>MC_2$, chiaramente converrebbe spostare un po' di produzione nel secondo impianto.
Quindi la soluzione sarebbe:
$\{(Q_1 + Q_2 = 100), (600 + 6Q_1 = 650 + 4Q_2) :}$ e cioè $Q_1 = 35$ e $Q_2 = 65$.
Secondo il libro invece converrebbe produrre tutto nel primo impianto. Penso sia ancora sbagliato, perché se si producesse tutto nel primo impianto si avrebbe un costo totale di $600*100 + 3*100^2 = 90000$, mentre se si scegliesse la mia soluzione il costo sarebbe $[(600*35 + 3*35^2) + (650*65 + 2*65^2)] = 75375$, ma chiedo conferma a voi e ne approfitto per chiedervi se il mio svolgimento va bene.
Ho ricopiato integralmente il testo perché penso ci sia un errore: le funzioni di costo dovrebbero essere $C_1 = 600Q_1 +3(Q_1)^2$ e $C_2 = 650Q_2 + 2(Q_2)^2$ (non ha senso ci sia il meno, altrimenti per una certa quantità di output verrebbe un costo toale negativo e sarebbe assurdo).
Io poi ho proceduto così: i costi marginali dei due impianti sono $MC_1 = 600+6Q_1$ e $MC_2 = 650 +4Q_2$. Per capire come distribuire l'output tra i due impianti si uguagliano i costi marginali dell'uno e dell'altro, perché se fossero diversi, ad esempio $MC_1>MC_2$, chiaramente converrebbe spostare un po' di produzione nel secondo impianto.
Quindi la soluzione sarebbe:
$\{(Q_1 + Q_2 = 100), (600 + 6Q_1 = 650 + 4Q_2) :}$ e cioè $Q_1 = 35$ e $Q_2 = 65$.
Secondo il libro invece converrebbe produrre tutto nel primo impianto. Penso sia ancora sbagliato, perché se si producesse tutto nel primo impianto si avrebbe un costo totale di $600*100 + 3*100^2 = 90000$, mentre se si scegliesse la mia soluzione il costo sarebbe $[(600*35 + 3*35^2) + (650*65 + 2*65^2)] = 75375$, ma chiedo conferma a voi e ne approfitto per chiedervi se il mio svolgimento va bene.
Risposte
Non so risponderti, senza sapere se il testo ha il segno sbagliato o no.
Devo guardare meglio i numeri e le funzioni di costo, appena posso ci penso, ma il segno meno ha senso, certo bisognerebbe escludere la parte con costi negativi delle funzioni, bisognerebbe specificarlo.
Devo guardare meglio i numeri e le funzioni di costo, appena posso ci penso, ma il segno meno ha senso, certo bisognerebbe escludere la parte con costi negativi delle funzioni, bisognerebbe specificarlo.
Oltre al segno meno anche quella soluzione di frontiera mi sembra non abbia senso, poi però penso anche che le soluzioni proposte dall'autore sono su internet e potrebbero essere relative alla penultima edizione del libro, quella del 2018, quando io ho quella del 2023. Però non vorrei convincermi di qualcosa di non vero, quindi anche se ho un minimo dubbio lo riporto qui.
Per il segno, se vedi, per produzione $100$ i costi in entrambi i casi sono positivi, per una produzione minore di $100$ anche, per una produzione maggiore di $100$ non ci interessa, quindi la parte negativa delle funzioni di costo sono già escluse.
Per quanto riguarda la soluzione, prova a fare una minimizzazione nel caso del segno meno nel testo, e vedi cosa esce, non è affatto strano che un impianto produca $0$.
Per quanto riguarda la soluzione, prova a fare una minimizzazione nel caso del segno meno nel testo, e vedi cosa esce, non è affatto strano che un impianto produca $0$.
Inoltre, per quanto riguarda il segno meno, si può vedere che il costo medio decresce al crescere della quantità, questo ha senso, è il caso delle economie di scala, per definizione costo medio decrescente.
Faccio un esempio grafico simile al tuo esercizio (con il segno meno), tanto per illustrare il problema, prendo funzioni più semplici perché con i numeri del tuo esercizio i grafici si impapocchiano.
Ho preso le funzioni di costo $y=4x-3x^2$ (grafico rosso) e $y=5x-2x^2$ (grafico blu), e ho rappresentato i costi medi, le rette.
Se dobbiamo produrre una quantità compresa nell'intervallo in cui entrambe le funzioni di costo sono positive, si vede bene che conviene produrre tutto con la funzione in rosso.
Entambe le funzioni di costo presentano costi medi decrescenti, cioè economie di scala.
Da notare che le funzioni di costo partono dall'origine, cioè ci sono costi solo variabili, non costi fissi: da ciò si deduce che siamo nel lungo periodo. Te lo dico perché te lo ritroverai (possibile domanda all'esame)
Ho preso le funzioni di costo $y=4x-3x^2$ (grafico rosso) e $y=5x-2x^2$ (grafico blu), e ho rappresentato i costi medi, le rette.
Se dobbiamo produrre una quantità compresa nell'intervallo in cui entrambe le funzioni di costo sono positive, si vede bene che conviene produrre tutto con la funzione in rosso.
Entambe le funzioni di costo presentano costi medi decrescenti, cioè economie di scala.
Da notare che le funzioni di costo partono dall'origine, cioè ci sono costi solo variabili, non costi fissi: da ciò si deduce che siamo nel lungo periodo. Te lo dico perché te lo ritroverai (possibile domanda all'esame)
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