Problema
Cari signori ieri sera ho trovato questo esercizio, ma non riesco a venirne a capo vi posto il testo nel quale qualcuno mi possa dare una mano a farlo
Considerate un insieme di giocatori [tex]$N=\{1,\ldots,n\}$[/tex] e una partizione [tex]$P=\{A_{1},\ldots,A_{m}\}$[/tex] di [tex]$N$[/tex] (o coalition structure), quindi [tex]$A_{k}\neq\emptyset$[/tex] per [tex]$1\leq k\leq m$[/tex], così {i} come [tex]$A_{h}\cap A_{k}=\emptyset$[/tex] per [tex]$1\leq h
L'insieme [tex]$\mathcal{S}_{n}^{P}$[/tex] delle permutazioni ammissibili rispetto a [tex]$P$[/tex] sono tutte quelle [tex]$\pi:\{1,\ldots,n\}\rightarrow\{1,\ldots,n\}$[/tex] che verificano [tex]\[\left.\begin{array}{c}i,j\in A\in P\\ \pi(i)<\pi(l)<\pi(j)\end{array}\right\} \Rightarrow l\in A\text{.}\][/tex] L'Owen value del gioco [tex]$(v,P)$[/tex] é [tex]\[\phi_{i}^{Ow}(v,P)=\sum_{\pi\in\mathcal{S}_{n}^{P}}\frac{v(\{j\in N:\pi(j)\leq\pi(i)\})-v(\{j\in N:\pi(j)<\pi(i)\})}{m!\underset{1\leq k\leq m}{\prod}|A_{k}|!}\][/tex]
Si verifichi se [tex]$\phi_{i}^{Sh}(v^{P})=\phi_{i}^{Ow}(v,P)$[/tex] per ogni [tex]$v$[/tex] e [tex]$P$[/tex], dove [tex]$\phi^{Sh}$[/tex] é lo Shapley value.
Si suggerisce di considerare il generico unanimity game [tex]$u_{B}$[/tex] ovvero il generico elemento della base [tex]$\{u_{B}:\emptyset\neq B\in2^{N}\}$[/tex] dello spazio vettoriale dei coalitional games sull'insieme [tex]$N$[/tex] dei giocatori. Se [tex]$\phi^{Ow}(u_{B},P)=\phi^{Sh}(u_{B}^{P})$[/tex] per ogni partizione [tex]$P$[/tex] di [tex]$N$[/tex] e per ogni [tex]\emptyset\neq B\in2^{N}$[/tex], allora é verificato che le due soluzioni coincidono. Ovviamente il caso laborioso é [tex]$B\notin2^{P}\underset{A\in P}{\bigcup}2^{A}$[/tex].
Qualcuno ha delle idee su come procedere?
Considerate un insieme di giocatori [tex]$N=\{1,\ldots,n\}$[/tex] e una partizione [tex]$P=\{A_{1},\ldots,A_{m}\}$[/tex] di [tex]$N$[/tex] (o coalition structure), quindi [tex]$A_{k}\neq\emptyset$[/tex] per [tex]$1\leq k\leq m$[/tex], così {i} come [tex]$A_{h}\cap A_{k}=\emptyset$[/tex] per [tex]$1\leq h
L'insieme [tex]$\mathcal{S}_{n}^{P}$[/tex] delle permutazioni ammissibili rispetto a [tex]$P$[/tex] sono tutte quelle [tex]$\pi:\{1,\ldots,n\}\rightarrow\{1,\ldots,n\}$[/tex] che verificano [tex]\[\left.\begin{array}{c}i,j\in A\in P\\ \pi(i)<\pi(l)<\pi(j)\end{array}\right\} \Rightarrow l\in A\text{.}\][/tex] L'Owen value del gioco [tex]$(v,P)$[/tex] é [tex]\[\phi_{i}^{Ow}(v,P)=\sum_{\pi\in\mathcal{S}_{n}^{P}}\frac{v(\{j\in N:\pi(j)\leq\pi(i)\})-v(\{j\in N:\pi(j)<\pi(i)\})}{m!\underset{1\leq k\leq m}{\prod}|A_{k}|!}\][/tex]
Si verifichi se [tex]$\phi_{i}^{Sh}(v^{P})=\phi_{i}^{Ow}(v,P)$[/tex] per ogni [tex]$v$[/tex] e [tex]$P$[/tex], dove [tex]$\phi^{Sh}$[/tex] é lo Shapley value.
Si suggerisce di considerare il generico unanimity game [tex]$u_{B}$[/tex] ovvero il generico elemento della base [tex]$\{u_{B}:\emptyset\neq B\in2^{N}\}$[/tex] dello spazio vettoriale dei coalitional games sull'insieme [tex]$N$[/tex] dei giocatori. Se [tex]$\phi^{Ow}(u_{B},P)=\phi^{Sh}(u_{B}^{P})$[/tex] per ogni partizione [tex]$P$[/tex] di [tex]$N$[/tex] e per ogni [tex]\emptyset\neq B\in2^{N}$[/tex], allora é verificato che le due soluzioni coincidono. Ovviamente il caso laborioso é [tex]$B\notin2^{P}\underset{A\in P}{\bigcup}2^{A}$[/tex].
Qualcuno ha delle idee su come procedere?
Risposte
Ciao,
anche io devo risolvere lo stesso problema, io ho letto questa Dispensa e a pagina 4 c'è il teorema 1 che parla della coincidenza dei due valori.
Quindi ho pensato ma non so se sbaglio che siccome l'owen value è un'estensione probabilistica dello shapley value bisogna provare la condizione nel teorema 1 di pagina 4, ma non so se questa è la strada giusta da prendere per provare quello che chiede il problema
Ciaooo!!!
anche io devo risolvere lo stesso problema, io ho letto questa Dispensa e a pagina 4 c'è il teorema 1 che parla della coincidenza dei due valori.
Quindi ho pensato ma non so se sbaglio che siccome l'owen value è un'estensione probabilistica dello shapley value bisogna provare la condizione nel teorema 1 di pagina 4, ma non so se questa è la strada giusta da prendere per provare quello che chiede il problema
Ciaooo!!!
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