Nepero: interesse 100% con capitalizzazione continua.....
Che cosa accade se si investe una quantità di denaro all'interesse del 100% con capitalizzazione continua degli interessi maturati? (Nepero rispose per primo).
tenendo presente che se con $A_0 $ si indica il montante iniziale e con $r$ l'interesse annuo fisso , il montante dopo
$t$ anni è:
$A(t) = A_0 e^(rt) $, rispondere alle seguenti domande
a) cosa accade?
b) Quanto tempo deve trascorrere affinchè la quantità di denaro raddoppi?
c) quanto puo' fruttare questo investimento in un anno?
a) cosa accade? Che il capitale cresce esponenzialmente...ma non mi sembra una risposta soddisfacente...b) $ A_0 e^(rt) = 2A_0$ $=>$ $x = ln root(r)(2)$ percio' $ t= ln root(r)(2)$ , c) per vedere il frutto di un anno basta sostituire a $t$ il valore $1$
ma mi sembra banale.
tenendo presente che se con $A_0 $ si indica il montante iniziale e con $r$ l'interesse annuo fisso , il montante dopo
$t$ anni è:
$A(t) = A_0 e^(rt) $, rispondere alle seguenti domande
a) cosa accade?
b) Quanto tempo deve trascorrere affinchè la quantità di denaro raddoppi?
c) quanto puo' fruttare questo investimento in un anno?
a) cosa accade? Che il capitale cresce esponenzialmente...ma non mi sembra una risposta soddisfacente...b) $ A_0 e^(rt) = 2A_0$ $=>$ $x = ln root(r)(2)$ percio' $ t= ln root(r)(2)$ , c) per vedere il frutto di un anno basta sostituire a $t$ il valore $1$
ma mi sembra banale.
Risposte
In che senso: cosa accade? O.o
Il testo esattamente recita: John Napier (Nepero italianizzato), che inventò i logaritmi naturali, fu la prima persona a rispondere alla domanda " Che cosa accade se si investe una quantità di denaro all'interesse del 100%, con capitalizzazione continua degli interessi maturati?"
Tenendo presente che se con $A_0$ si indica il montante iniziale e con $ r$ l'interesse annuo fisso , il montante dopo $t$ anni è :
$ A(t) = A_0e^(rt)$ , rispondere alle seguenti domande
a) "cosa accade? "
ecc ecc....
Tenendo presente che se con $A_0$ si indica il montante iniziale e con $ r$ l'interesse annuo fisso , il montante dopo $t$ anni è :
$ A(t) = A_0e^(rt)$ , rispondere alle seguenti domande
a) "cosa accade? "
ecc ecc....
Penso di aver colto il senso di questo quesito :
si tratta di fare: Montante dopo $n$ anni : $ lim_(t->infty) A_0(1+r/t)^(nt)$ $ = A_0e^(rn)$.
Ecco perchè viene fuori il discorso di Nepero. Ora si tratta di legare insieme queste cose.
Vediamo se riusciamo ad andare avanti. Sembrerebbe che il Montante cresce in maniera esponenziale da subito.Ma cio' mi sembra impossibile.
si tratta di fare: Montante dopo $n$ anni : $ lim_(t->infty) A_0(1+r/t)^(nt)$ $ = A_0e^(rn)$.
Ecco perchè viene fuori il discorso di Nepero. Ora si tratta di legare insieme queste cose.
Vediamo se riusciamo ad andare avanti. Sembrerebbe che il Montante cresce in maniera esponenziale da subito.Ma cio' mi sembra impossibile.
La risposta alla domanda b) è giusta ma mi sembra preferibile scriverla nella forma $t=(ln 2)/r$. E' giusta anche quella alla domanda c); la non-banalità nasce dal fatto che, con interesse annuo del 100%, ci aspetteremmo un capitale raddoppiato, mentre invece è moltiplicato per $e$.
La domanda a) invita invece a rifare il ragionamento di Nepero ottenendo la formula $A(t)=A_0 e^(rt)$. Penso che molti fra i lettori non abbiano familiarità con questi concetti, quindi ne espongo le basi: a voi il resto. Si parte dalla capitalizzazione composta che consiste in questo: alla fine di ogni anno al capitale vengono aggiunti gli interessi maturati in quell'anno; negli anni successivi gli interessi vengono calcolati sull'ìntera somma depositata, comprensiva del capitale iniziale e degli interessi fino ad allora maturati. Potete ora facilmente dimostrare che dopo $t$ anni avrete $A(t)=A_0(1+r)^t$. Fermo restando che l'interesse annuo è $r$ e ci sono $t$ anni, cosa succederebbe se il calcolo degli interessi e il loro deposito avvenisse ogni 6 mesi? O ogni mese? O istante per istante? Quest'ultima è la capitalizzazione continua.
Al momento di spedire questa risposta, vedo quella di Antonelli: sei sulla strada giusta ma occorre rivedere qualcosa.
La domanda a) invita invece a rifare il ragionamento di Nepero ottenendo la formula $A(t)=A_0 e^(rt)$. Penso che molti fra i lettori non abbiano familiarità con questi concetti, quindi ne espongo le basi: a voi il resto. Si parte dalla capitalizzazione composta che consiste in questo: alla fine di ogni anno al capitale vengono aggiunti gli interessi maturati in quell'anno; negli anni successivi gli interessi vengono calcolati sull'ìntera somma depositata, comprensiva del capitale iniziale e degli interessi fino ad allora maturati. Potete ora facilmente dimostrare che dopo $t$ anni avrete $A(t)=A_0(1+r)^t$. Fermo restando che l'interesse annuo è $r$ e ci sono $t$ anni, cosa succederebbe se il calcolo degli interessi e il loro deposito avvenisse ogni 6 mesi? O ogni mese? O istante per istante? Quest'ultima è la capitalizzazione continua.
Al momento di spedire questa risposta, vedo quella di Antonelli: sei sulla strada giusta ma occorre rivedere qualcosa.
Giammaria scusa hai ragione : volevo scrivere $t->infty$ . e non $x->infty$ ed anche l'esponente del numero di Nepero $nt$ Credo che sia stato questo il mio errore.
O c'è dell'altro?
O c'è dell'altro?
Il problema dice "dopo $t$ anni" e tu dici "dopo $n$ anni": hai chiarito il concetto, ma non è bello cambiare il senso delle lettere e io avrei preferito scambiare fra loro $n,t$. Inoltre faresti bene a spiegare cosa intendi per $t$. A parte questo, va bene.
Allora credo che le cose siano due:
1) la capitalizzazione che puo' avvenire una volta l'anno ogni sei mesi oppure ogni istante.....(capitalizzazione continua) $ n$ io invece avevo messo $t$
2) il numero di anni $ t$
quindi: $ M_n = $ $A(t)$ $= lim_(t->infty) (1+r/t)^ (rt) $ dove $ n$ rappresenta la capitalizzazione continua come richiesto .(In effetti ho tirato in ballo $n$ ma non era necessario bastava dire capitalizzazione continua).
Ci siamo? Grazie infinite Giammaria.
1) la capitalizzazione che puo' avvenire una volta l'anno ogni sei mesi oppure ogni istante.....(capitalizzazione continua) $ n$ io invece avevo messo $t$
2) il numero di anni $ t$
quindi: $ M_n = $ $A(t)$ $= lim_(t->infty) (1+r/t)^ (rt) $ dove $ n$ rappresenta la capitalizzazione continua come richiesto .(In effetti ho tirato in ballo $n$ ma non era necessario bastava dire capitalizzazione continua).
Ci siamo? Grazie infinite Giammaria.
No, era meglio prima; prova a calcolare il tuo ultimo limite e non troverai il risultato voluto. Inoltre, cosa c'entra la capitalizzazione continua con un numero di anni tendente ad infinito?
Il ragionamento è: la formula $A(t)=(1+r)^t$ vale anche se gli interessi sono calcolati e versati in periodi diversi da un anno, purché naturalmente ad $r$ venga sostituito il tasso relativo a quel periodo e a $t$ il numero di periodi. Se quindi l'anno viene diviso in $n$ parti, per ciascuna di esse il tasso è $r/n$ e in tutto ci sono $nt$ parti di anno. Avrò quindi
$A(t)=A_0(1+r/n)^(nt)$
Nella capitalizzazione continua, l'anno è diviso in infinite parti,quindi
$A(t)=A_0[lim_(n->oo)(1+r/n)^n]^t=A_0(e^r)^t=A_0e^(rt)$
Il ragionamento è: la formula $A(t)=(1+r)^t$ vale anche se gli interessi sono calcolati e versati in periodi diversi da un anno, purché naturalmente ad $r$ venga sostituito il tasso relativo a quel periodo e a $t$ il numero di periodi. Se quindi l'anno viene diviso in $n$ parti, per ciascuna di esse il tasso è $r/n$ e in tutto ci sono $nt$ parti di anno. Avrò quindi
$A(t)=A_0(1+r/n)^(nt)$
Nella capitalizzazione continua, l'anno è diviso in infinite parti,quindi
$A(t)=A_0[lim_(n->oo)(1+r/n)^n]^t=A_0(e^r)^t=A_0e^(rt)$
Ho capito grazie e scusami.
Prego e non hai alcun motivo di scusarti.
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