[Metodi Matematici - Economia aziendale ] - Curve di livello

[DarKprince871]

Salve a tutti, vorrei porre a voi questa domanda poichè sto trovando 1pò di difficoltà con questo tipo di esercizi :

Assegnata la funzione F(x,y)= ..... si determini la curva di livello n (n è un numero che cambia da esercizio ad esercizio, in genere 0
Qualcuno sa dirmi come risolverli?? Grazie mille anticipatamente

[_Tipper]

È la curva lungo cui la $F$ assume il valore costante $n$, cioè $\{(x,y) \in \mathbb{R}^2: F(x,y) = n\}$. La curva di livello è questa, cosa chiede poi l'esercizio?

[DarKprince871]

ciao tipper, e innanzitutto grazie per avermi risposto. Fino a questo punto io ci ero arrivato, che io prendo i vari livelli n, per disegnare la curva reale in 3D unendo le varie curve di livello. Non mi è chiaro però come si risolvono gli esercizi, te ne posto uno :

$F(x,y)=e^sqrt( (xy^2 +3x)/((y^2 -4)y)) +1

trovare la curva di livello 2


Ps. la radice è di tutto l'argomento dell'esponenziale, non so xkè si sia preso solo la parte di sopra

[_Tipper]

L'equazione cartesiana della curva di livello è

$e^{\sqrt{\frac{x y^2 + 3x}{(y^2 - 4)y}}} + 1 = 2$

cioè

$e^{\sqrt{\frac{x y^2 + 3x}{(y^2 - 4)y}}} = 1$

Suppongo che quello che tu debba fare è riscrivere l'equazione esplicitando una variabile in funzione dell'altra. Invertendo l'esponenziale (questo si può fare a cuor leggero, visto che è iniettiva) si ottiene

$\sqrt{\frac{x y^2 + 3x}{(y^2 - 4)y}} = 0$

Invertendo a cuor leggero anche la radice quadrata (do per scontato che stiamo lavorando nel dominio di $F$) si ottiene

$\frac{x y^2 + 3x}{(y^2 - 4)y} = 0$

da cui

$x y^2 + 3x = 0$

cioè

$x(y^2 + 3) = 0$

Ora $y^2 + 3$ non si può mai annullare, quindi la curva di livello cercata è rappresentata dalla retta di equazione $x = 0$.

Spero non ci siano errori di calcolo, il procedimento comunque è questo.

[DarKprince871]

perfetto. Questi procedimenti li avevo fatti anche io,trovando la curva x=0. Non mi è chiaro però perchè nei risultati dell'esercizio mi appare questa soluzione :

${(x,y)€R^2 : x=0,y!=0,+-2}

O.o

[_Tipper]

Perché la funzione $F$ non è definita per $y = 0$ e $y = \pm 2$ (si annulla il denominatore), questo vuol dire che i punti $(0, 0)$ e $(0, \pm 2)$ non appartengono all'insieme di livello. Ricorda che un insieme di livello è un sottoinsieme del dominio della funzione.

[DarKprince871]

ah ok !! quindi nelle soluzioni io devo anche scrivere i punti di non definizione del dominio

[_Tipper]

Sì, devi scartare i punti che non appartengono al dominio.

[DarKprince871]

Grazie mille mi rivedrai sicuramente nei prossimi giorni perchè sto dando ripetizioni alla mia ragazza che deve sostenere questo esame di matematica alla facoltà di economia, e ci sono delle cose veramente strane che non capisco :S (il libro di testo che utilizza tral'altro è ridicolo... )