[Metodi Matematici - Economia aziendale ] - Curve di livello
Salve a tutti, vorrei porre a voi questa domanda poichè sto trovando 1pò di difficoltà con questo tipo di esercizi :
Assegnata la funzione F(x,y)= ..... si determini la curva di livello n (n è un numero che cambia da esercizio ad esercizio, in genere 0
Qualcuno sa dirmi come risolverli?? Grazie mille anticipatamente
Assegnata la funzione F(x,y)= ..... si determini la curva di livello n (n è un numero che cambia da esercizio ad esercizio, in genere 0
Qualcuno sa dirmi come risolverli?? Grazie mille anticipatamente
Risposte
È la curva lungo cui la $F$ assume il valore costante $n$, cioè $\{(x,y) \in \mathbb{R}^2: F(x,y) = n\}$. La curva di livello è questa, cosa chiede poi l'esercizio?
ciao tipper, e innanzitutto grazie per avermi risposto. Fino a questo punto io ci ero arrivato, che io prendo i vari livelli n, per disegnare la curva reale in 3D unendo le varie curve di livello. Non mi è chiaro però come si risolvono gli esercizi, te ne posto uno :
$F(x,y)=e^sqrt( (xy^2 +3x)/((y^2 -4)y)) +1
trovare la curva di livello 2
Ps. la radice è di tutto l'argomento dell'esponenziale, non so xkè si sia preso solo la parte di sopra
$F(x,y)=e^sqrt( (xy^2 +3x)/((y^2 -4)y)) +1
trovare la curva di livello 2
Ps. la radice è di tutto l'argomento dell'esponenziale, non so xkè si sia preso solo la parte di sopra

L'equazione cartesiana della curva di livello è
$e^{\sqrt{\frac{x y^2 + 3x}{(y^2 - 4)y}}} + 1 = 2$
cioè
$e^{\sqrt{\frac{x y^2 + 3x}{(y^2 - 4)y}}} = 1$
Suppongo che quello che tu debba fare è riscrivere l'equazione esplicitando una variabile in funzione dell'altra. Invertendo l'esponenziale (questo si può fare a cuor leggero, visto che è iniettiva) si ottiene
$\sqrt{\frac{x y^2 + 3x}{(y^2 - 4)y}} = 0$
Invertendo a cuor leggero anche la radice quadrata (do per scontato che stiamo lavorando nel dominio di $F$) si ottiene
$\frac{x y^2 + 3x}{(y^2 - 4)y} = 0$
da cui
$x y^2 + 3x = 0$
cioè
$x(y^2 + 3) = 0$
Ora $y^2 + 3$ non si può mai annullare, quindi la curva di livello cercata è rappresentata dalla retta di equazione $x = 0$.
Spero non ci siano errori di calcolo, il procedimento comunque è questo.
$e^{\sqrt{\frac{x y^2 + 3x}{(y^2 - 4)y}}} + 1 = 2$
cioè
$e^{\sqrt{\frac{x y^2 + 3x}{(y^2 - 4)y}}} = 1$
Suppongo che quello che tu debba fare è riscrivere l'equazione esplicitando una variabile in funzione dell'altra. Invertendo l'esponenziale (questo si può fare a cuor leggero, visto che è iniettiva) si ottiene
$\sqrt{\frac{x y^2 + 3x}{(y^2 - 4)y}} = 0$
Invertendo a cuor leggero anche la radice quadrata (do per scontato che stiamo lavorando nel dominio di $F$) si ottiene
$\frac{x y^2 + 3x}{(y^2 - 4)y} = 0$
da cui
$x y^2 + 3x = 0$
cioè
$x(y^2 + 3) = 0$
Ora $y^2 + 3$ non si può mai annullare, quindi la curva di livello cercata è rappresentata dalla retta di equazione $x = 0$.
Spero non ci siano errori di calcolo, il procedimento comunque è questo.
perfetto. Questi procedimenti li avevo fatti anche io,trovando la curva x=0. Non mi è chiaro però perchè nei risultati dell'esercizio mi appare questa soluzione :
${(x,y)€R^2 : x=0,y!=0,+-2}
O.o
${(x,y)€R^2 : x=0,y!=0,+-2}
O.o
Perché la funzione $F$ non è definita per $y = 0$ e $y = \pm 2$ (si annulla il denominatore), questo vuol dire che i punti $(0, 0)$ e $(0, \pm 2)$ non appartengono all'insieme di livello. Ricorda che un insieme di livello è un sottoinsieme del dominio della funzione.
ah ok !! quindi nelle soluzioni io devo anche scrivere i punti di non definizione del dominio

Sì, devi scartare i punti che non appartengono al dominio.

Grazie mille
mi rivedrai sicuramente nei prossimi giorni perchè sto dando ripetizioni alla mia ragazza che deve sostenere questo esame di matematica alla facoltà di economia, e ci sono delle cose veramente strane che non capisco :S (il libro di testo che utilizza tral'altro è ridicolo... )

