Intensità istantanea di interesse

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10 gen 2013, 09:51

ciao a tutti, in questo problemi non riesco a capire come si calcoli h (t, s), che mi serve per calcolarmi il prezzo a pronti, a termine e infine il tasso implicito. So che h (t,s) è il rendimento a scadenza che si calcola facendo 1/s-t per l'integrale definito dell'intensità d'interesse, ma non so fare l'integrale. Qualcuno mi può aiutare, mi serve solo capire come vine l'integrale.

In un mercato obbligazionario perfetto è in vigore la seguente struttura delle intensità istantanee d’interesse d(t; s) = (s – t)/50 .
Determinare le cedole ed il prezzo di un titolo obbligazionario con le seguenti caratteristiche:
- valore nominale pari a 500,
- cedole annuali, vita a scadenza di 3 anni,
- alla k-esima cedola (k = 1; 2; 3) si applica un tasso cedolare pari al massimo tra il 6% ed il doppio del tasso implicito in vigore nel periodo [t + k -1; t + k].

Risposte

fede.unive

11 gen 2013, 12:16

L'esercizio non è difficile...bisogna solo ricordare le formule (che non mi ricordavo e sono dovuto andare a controllare....

). Comunque, il rendimento a scadenza $h(t,s)$ è definito come la media integrale dell'intensità istantanea d'interesse $\delta(t,s)$, ossia:

$h(t.s)=1/{s-t} * int_t^{s} \delta(t,u)$ $text{d} u$

che nel caso dell'esercizio risulta (se non ho capito male hai qualche difficoltà nel calcolare l'integrale, quindi lo svolgo passo passo...che neanche alle superiori):

$h(t.s)=1/{s-t} * int_t^{s} {u-t}/50$ $text{d} u = 1/{50*(s-t)} * int_t^{s} (u- t) $ $text{d} u =$ $= 1/{50*(s-t)} *(int_t^{s} u* text{d} u - int_t^{s} t * text{d} u ) = 1/{50*(s-t)} *(int_t^{s} u* text{d} u -t * int_t^{s} text{d} u )=$ $= 1/{50*(s-t)} * [(u^2/2 |_t^s ) -t*(u |_t^s )] = 1/{50*(s-t)} * [(s^2/2 -t^2/2 )-t*(s -t )]={s-t}/100$

Determinata tale quantità, sai che il tasso di intersse implicito $i(t,s)$ risulta dato dall'equazione:

$h(t,s)=ln[1+i(t,s)]$ $rarr$ $i(t,s)=e^{h(t,s)}-1=e^{{s-t}/100}-1 $

Ora l'unica "difficoltà" sta nel trovare i tassi cedolari, questi sono:

$c(t,t+1)=max{0.06;2*i(t,t+1)}= max{0.06;2*(e^{{t+1-t}/100}-1)}=max{0.06;2*(e^{1/100}-1)}=max{0.06;0.0201}=0.06$
$c(t+1,t+2)=max{0.06;2*i(t+1,t+2)}=max{0.06;2*(e^{{t+2-(t+1)}/100}-1)}=max{0.06;2*(e^{1/100}-1)}=max{0.06;0.0201}=0.06$
$c(t+2,t+3)=max{0.06;2*i(t+2,t+3)}=max{0.06;2*(e^{{t+3-(t+2)}/100}-1)}=max{0.06;2*(e^{1/100}-1)}=max{0.06;0.0201}=0.06$

Le cedole sono pertanto pari a:

$Ced=VN*0.06=500*0.06=30€$

Il prezzo dell'obbligazione risulta:

$P_0=Ced*[1+i(t,t+1)]^{-1}+Ced*[1+i(t+1,t+2)]^{-2}+(Ced+VN)*[1+i(t+2,t+3)]^{-3}=$
$=30*(1+0.01005)^{-1}+30*(1+0.01005)^{-2}+530*(1+0.01005)^{-3}=573.44€$

Se hai qualche dubbio/obiezione,dimmi pure.