Grandezze marginali ed economia
Da Wikipedia leggo questa definizione "La produttività marginale del lavoro, in economia, misura l'incremento di prodotto dovuto ad un'unità aggiuntiva di forza lavoro". Però poi, per il calcolo concreto delle grandezze marginali, si usano le derivate. In realtà, variazione di $f(x)$ in seguito ad una variazione unitaria della $x$ e $f'(x)$ non sempre coincidono
Faccio molta fatica a capire perché, su internet ma anche sui supporti didattici in generale, non si specifichi che le grandezze marginali calcolate con le derivate misurano solo delle approssimazioni di ciò che si vuole misurare.
Prendo ad esempio questa funzione di produzione, con variabile soltanto il lavoro, $F(L) = -2L^3 + 10L^2 + 25L$.
Misuro il prodotto marginale del lavoro in $L=1$ senza derivate: $F(1) = 33$.
Misuro il prodotto marginale del lavoro con le derivate: $F'(L) = -6L^2 + 20L + 25$, $F'(1) = -6+20+25 = 39 != 33$. In questo caso l'approssimazione è pure piuttosto grossolana.
Se la variazione minima concessa la prendo di $\Delta = 0.2$, la derivata approssima il prodotto marginale in maniera più precisa. Il prodotto marginale del lavoro in $L=1$ sarebbe $[F(1)-F(0.8)]/(0.2) = 38.12$
Con le derivate $F'(1) = 39$.
Mi viene da pensare che le derivate approssimino le variazioni marginali sempre per eccesso e tanto meglio quanto più è piccola la variazione $\DeltaX$ concessa. Se posso prendere $\DeltaX$ piccolo a piacere (l'input è infinitamente divisibile), allora $f'(x)$ e variazione di $f(x)$ in seguito ad una variazione unitaria della $x$ coincidono. E' corretto questo ragionamento?
Faccio molta fatica a capire perché, su internet ma anche sui supporti didattici in generale, non si specifichi che le grandezze marginali calcolate con le derivate misurano solo delle approssimazioni di ciò che si vuole misurare.
Prendo ad esempio questa funzione di produzione, con variabile soltanto il lavoro, $F(L) = -2L^3 + 10L^2 + 25L$.
Misuro il prodotto marginale del lavoro in $L=1$ senza derivate: $F(1) = 33$.
Misuro il prodotto marginale del lavoro con le derivate: $F'(L) = -6L^2 + 20L + 25$, $F'(1) = -6+20+25 = 39 != 33$. In questo caso l'approssimazione è pure piuttosto grossolana.
Se la variazione minima concessa la prendo di $\Delta = 0.2$, la derivata approssima il prodotto marginale in maniera più precisa. Il prodotto marginale del lavoro in $L=1$ sarebbe $[F(1)-F(0.8)]/(0.2) = 38.12$
Con le derivate $F'(1) = 39$.
Mi viene da pensare che le derivate approssimino le variazioni marginali sempre per eccesso e tanto meglio quanto più è piccola la variazione $\DeltaX$ concessa. Se posso prendere $\DeltaX$ piccolo a piacere (l'input è infinitamente divisibile), allora $f'(x)$ e variazione di $f(x)$ in seguito ad una variazione unitaria della $x$ coincidono. E' corretto questo ragionamento?
Risposte
Pietà di noi economisti mortali! Abbiamo peccato, ma non così tanto da doverci sempre scervellare su questa cosa 
Di una cosa simile abbiamo da poco parlato con Marco1005 in un altro thread qui https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 4&t=237680
Hai ragione, eh? Vero che all'inizio c'è questa confusione tra due definizioni di produttività marginale, utilità marginale, etc., tutto quello che è marginale.
La definizione che dice che è l'incremento del prodotto-utilità etc. conseguente a un incremento unitario della variabile indipendente si riferisce in genere a quando usiamo grandezze discrete, o comunque quando facciamo, come fai tu, un incremento discreto della variabile indipendente.
La definizione come derivata presuppone che siamo nel continuo, e soprattutto che si sappia cosa è una derivata.
Dal punto di vista concettuale-intuitivo non c'è grande differenza, c'è differenza e molta nella trattazione formale.
E' ovvio che le due definizioni danno risultati numerici diversi, ma non è vero che derivata sempre 'sovrastima', dipende dalla funzione: prendi ad esempio una funzione con derivata prima positiva e convessa, cioè derivata seconda negativa, e vedrai che la derivata sottostima l'incremento. Prova a vederlo graficamente.
Ma non ti stare a preoccupare, non ti stare a arrovellare, andando avanti si useranno solo le derivate e l'analisi matematica. Le variazioni unitarie, il discreto e questi problemi spariranno e sarà tutto chiaro.
Detto questo, perché c'è questa confusione?
Perché all'inizio si vuole dare una definizione che non presupponga la conoscenza delle derivate e sia comprensibile intuitivamente dal punto di vista economico, poi caso mai si introducono le derivate e si va in confusione.
Il fatto è che i professori di economia sono in genere conflittuali sull'introdurre o meno le derivate all'inizio, in genere si tende a rimandare la formalizzazione più 'sofisticata', però è anche vero che certi concetti sono più chiari con le derivate, e possono capitare queste confusioni.
Sui supporti didattici o su internet non si soffermano su questa distinzione perché la danno un po' per scontata, e non ci pensano che può invece creare confusione, almeno così mi sembra.
Al momento guarda bene il contesto e che chiede il singolo esercizio, e usa o l'uno o l'altro metodo e non li mischiare.
Poi ogni professore fa a modo suo, quindi attieniti a come si fa nel corso.
Cerca di non stare troppo appresso a Wikipedia o troppe dispense in rete. Wikipedia va benissimo come informazione generale, ma non per studiarci.
Se hai un libro di microeconomia attieniti a quello come fosse la Bibbia.
Andando avanti la microeconomia diventerà molto più formalizzata, a livello postgraduate è forse la parte più matematizzata dell'economia. Niente più discreto, e spariranno esempi con panini e pizze e Anna che va al mercato e deve scegliere tra pere cotte e galline
.
Ci vogliono le basi, fatte su un buon libro o note esaurienti dei professori (non slides!)
Di una cosa simile abbiamo da poco parlato con Marco1005 in un altro thread qui https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 4&t=237680
Hai ragione, eh? Vero che all'inizio c'è questa confusione tra due definizioni di produttività marginale, utilità marginale, etc., tutto quello che è marginale.
La definizione che dice che è l'incremento del prodotto-utilità etc. conseguente a un incremento unitario della variabile indipendente si riferisce in genere a quando usiamo grandezze discrete, o comunque quando facciamo, come fai tu, un incremento discreto della variabile indipendente.
La definizione come derivata presuppone che siamo nel continuo, e soprattutto che si sappia cosa è una derivata.
Dal punto di vista concettuale-intuitivo non c'è grande differenza, c'è differenza e molta nella trattazione formale.
E' ovvio che le due definizioni danno risultati numerici diversi, ma non è vero che derivata sempre 'sovrastima', dipende dalla funzione: prendi ad esempio una funzione con derivata prima positiva e convessa, cioè derivata seconda negativa, e vedrai che la derivata sottostima l'incremento. Prova a vederlo graficamente.
Ma non ti stare a preoccupare, non ti stare a arrovellare, andando avanti si useranno solo le derivate e l'analisi matematica. Le variazioni unitarie, il discreto e questi problemi spariranno e sarà tutto chiaro.
Detto questo, perché c'è questa confusione?
Perché all'inizio si vuole dare una definizione che non presupponga la conoscenza delle derivate e sia comprensibile intuitivamente dal punto di vista economico, poi caso mai si introducono le derivate e si va in confusione.
Il fatto è che i professori di economia sono in genere conflittuali sull'introdurre o meno le derivate all'inizio, in genere si tende a rimandare la formalizzazione più 'sofisticata', però è anche vero che certi concetti sono più chiari con le derivate, e possono capitare queste confusioni.
Sui supporti didattici o su internet non si soffermano su questa distinzione perché la danno un po' per scontata, e non ci pensano che può invece creare confusione, almeno così mi sembra.
Al momento guarda bene il contesto e che chiede il singolo esercizio, e usa o l'uno o l'altro metodo e non li mischiare.
Poi ogni professore fa a modo suo, quindi attieniti a come si fa nel corso.
Cerca di non stare troppo appresso a Wikipedia o troppe dispense in rete. Wikipedia va benissimo come informazione generale, ma non per studiarci.
Se hai un libro di microeconomia attieniti a quello come fosse la Bibbia.
Andando avanti la microeconomia diventerà molto più formalizzata, a livello postgraduate è forse la parte più matematizzata dell'economia. Niente più discreto, e spariranno esempi con panini e pizze e Anna che va al mercato e deve scegliere tra pere cotte e galline
. Ci vogliono le basi, fatte su un buon libro o note esaurienti dei professori (non slides!)
"gabriella127":
La definizione che dice che è l'incremento del prodotto-utilità etc. conseguente a un incremento unitario della variabile indipendente si riferisce in genere a quando usiamo grandezze discrete, o comunque quando facciamo, come fai tu, un incremento discreto della variabile indipendente.
Beh però anche se siamo nel continuo il significato di grandezza marginale è lo stesso. Prodotto marginale del lavoro, costo marginale ecc. sono tutti valori che ti dicono come varia l'output o il costo totale al variare di un'unità della variabile indipendente (numero di lavoratori o unità di costo). Mi piace pensare che il numero lo calcoli su un rapporto tra due quantità infinitesime, ma poi quello che ti esce fuori è la variazione per incremento unitario della variabile indipendente [nota]Faccio un esempio per chiarire questo punto. Prima ho calcolato il prodotto marginale del lavoro, in $L=1$, supponendo una variazione minima $\DeltaL=0.2$. Il risultato che mi è uscito, cioè $38.12$, è relativo ad un incremento unitario del lavoro (cioè, se aumento il lavoro di $1$ unità, l'output aumenterà di $38.12$), anche se la variazione del lavoro l'ho calcolata per un valore minore di 1. Se sono nel continuo, posso prendere $\DeltaL$ piccolo quanto voglio, ma il risultato che ottengo sarà sempre relativo a come varia l'output per incremento unitario del lavoro.[/nota].
I distinguo su discreto e continuo vanno fatti quando devi concretamente calcolare queste grandezze marginali (che come abbiamo detto, se siamo sul discreto, le derivate possono solo approssimare).
"gabriella127":
E' ovvio che le due definizioni danno risultati numerici diversi, ma non è vero che derivata sempre 'sovrastima', dipende dalla funzione: prendi ad esempio una funzione con derivata prima positiva e convessa, cioè derivata seconda negativa, e vedrai che la derivata sottostima l'incremento. Prova a vederlo graficamente.
Immaginavo che non sovrastimasse sempre, l'ho scritto giusto per togliermi ogni dubbio
.
"HowardRoark":
[quote="gabriella127"]
La definizione che dice che è l'incremento del prodotto-utilità etc. conseguente a un incremento unitario della variabile indipendente si riferisce in genere a quando usiamo grandezze discrete, o comunque quando facciamo, come fai tu, un incremento discreto della variabile indipendente.
Beh però anche se siamo nel continuo il significato di grandezza marginale è lo stesso. Prodotto marginale del lavoro, costo marginale ecc. sono tutti valori che ti dicono come varia l'output o il costo totale al variare di un'unità della variabile indipendente (numero di lavoratori o unità di costo).
I distinguo su discreto e continuo vanno fatti quando devi concretamente calcolare queste grandezze marginali (che come abbiamo detto, se siamo sul discreto, le derivate possono solo approssimare).
[/quote]
Nel continuo puoi dare tutte e due le definizioni, nel continuo si definisce come derivata usualmente, o anche come incremento che consegue da un incremento unitario della variabile indipendente.
Nel discreto puoi dare ovviamente solo la seconda.
Non è che le derivate approssimano le grandezze marginali date in base alla seconda definizione, le grandezze marginali sono proprio quelle derivate per definizione.
Hai due definizioni diverse, tutto qui.
Quella che si usa poi andando avanti è la definizione come derivata, questo 'incremento che segue da una variazione unitaria etc.,' poi non si usa più.
La microeconomia è pesantemente fondata sull'analisi e altre cose di matematica, per cui serve il continuo e quella definizione senza derivata va a sparire.
Ma pensa solo all'equilibrio del consumatore, se l'hai fatto, e alla formalizzazione del problema di ottimo come massimo vincolato, lì ci vogliono per forza le derivate e l'utilità marginale è definita come derivata, chi ci pensa più all' altra definizione.
"gabriella127":
Nel continuo puoi dare tutte e due le definizioni, nel continuo si definisce come derivata usualmente, o anche come incremento che consegue da un incremento unitario della variabile indipendente.
Nel discreto puoi dare ovviamente solo la seconda.
Non è che le derivate approssimano le grandezze marginali date in base alla seconda definizione, le grandezze marginali sono proprio quelle derivate per definizione.
Ok, ora è tutto chiaro. L'unica perplessità che mi è rimasta è se sia lecito lavorare nel continuo, quando nella realtà non si hanno mai variazioni infinitesime di qualcosa. Se un lavoratore lavora 40 ore a settimana (5 giorni * 8h al giorno), al massimo puoi decidere di assumere lavoratori "giornalieri"( che fanno solo 8 ore lavorative, e quindi conterebbero come $8/40 = 0.2L$), quindi di fatto la derivata approssimerebbe quello che tu vuoi calcolare.
Ma è un dubbio cavilloso, l'importante è aver capito i concetti di sopra.
Sì , è lecito ed è quello che si fa in economia, i modelli sono approssimazioni della realtà, astrazioni, e poi quello che conta in genere sono i risultati qualitativi teorici, non numeri precisi tipo tot lavoratori, etc.
C'è una formalizzazione matematica molto pesante andando avanti, e c'è bisogno dell'analisi matematica e di altri strumenti anche sofisticati che non sono disponibili nel discreto.
Ma poi non ha nessuna rilevanza, sì, si prevede anche che si possa fare a pezzetti un lavoratore e prenderne, che so, $2/13$ o prendere $\pi$ greco lavoratori (nessun imprenditore però ci è mai riuscito)
Non ti preoccupare, le idee ce le hai chiare, e vedrai che andando avanti sarà tutto più chiaro.
C'è una formalizzazione matematica molto pesante andando avanti, e c'è bisogno dell'analisi matematica e di altri strumenti anche sofisticati che non sono disponibili nel discreto.
Ma poi non ha nessuna rilevanza, sì, si prevede anche che si possa fare a pezzetti un lavoratore e prenderne, che so, $2/13$ o prendere $\pi$ greco lavoratori (nessun imprenditore però ci è mai riuscito)
Non ti preoccupare, le idee ce le hai chiare, e vedrai che andando avanti sarà tutto più chiaro.
Come no, me lo ricordo.
Il fatto che in microeconomia dopo un po' di esercizi al primo anno i numeri scompaiono, servono come esemplificazioni per comprendere la materia. Ma poi la microeconomia è fatta di modelli formali, anche molto matematizzati andando avanti, in cui contano i risultati qualitativi, teorici, a stento c'è qualche funzione specifica.
Non è che uno vede numeri, o fa conti, non va confuso l'economista con il ragionier Fantozzi.
Non c'è qualche interesse per i numeri, per cui ha senso chiedersi se i lavoratori o chi per loro sono in numero intero o quante pizze consuma il consumatore, e se può avere mezza pizza.
Il fatto che in microeconomia dopo un po' di esercizi al primo anno i numeri scompaiono, servono come esemplificazioni per comprendere la materia. Ma poi la microeconomia è fatta di modelli formali, anche molto matematizzati andando avanti, in cui contano i risultati qualitativi, teorici, a stento c'è qualche funzione specifica.
Non è che uno vede numeri, o fa conti, non va confuso l'economista con il ragionier Fantozzi.
Non c'è qualche interesse per i numeri, per cui ha senso chiedersi se i lavoratori o chi per loro sono in numero intero o quante pizze consuma il consumatore, e se può avere mezza pizza.
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