Esempio di Selten e calcolo degli equilibri
Auguri di buon anno a tutti.
Nei giorni scorsi stavo leggendo l'articolo di Kreps e Wilson del 1986 in cui descrivevano per la prima volta il Sequential Equilibrium e mi sono imbattuto in un celebre esempio:
Extensive Form
Strategic Form
Tale gioco è stato descritto per la prima volta da Selten come esempio di situazione in cui il procedimento di backward induction non serve a molto, poichè l'unico sottogioco è il gioco stesso. Il mio problema è legato al calcolo degli Equilibri del gioco.
Utilizzando la Strategic Form ottengo due equilibri: (D, a, l) e (A, a, r)
Quando passo alla Extensive Form mi perdo. Ho utilizzato Gambit (che per motivi a me ignoti ha dei problemi nel calcolo degli Equilibri per giochi in forma estesa) e mi ha dato come risultato due equilibri:
1) P1 gioca "A", P2 gioca "a" 1/3 delle volte e "d" con il 66% di probabilità, P3 gioca "r";
2) P1 gioca "D", P2 gioca "a", P3 gioca "r" con una probabilità del 75% [citato da Kreps e Wilson].
Il mio problema in poche parole è: come ottengo questi risultati per gli equilibri derivati dalla Extensive Form?
Come devo pesare le probabilità? Come saltano fuori quel 75% e quel 66%?
Grazie a tutti e buon periodo di smaltimento cibarie post-feste!
Nei giorni scorsi stavo leggendo l'articolo di Kreps e Wilson del 1986 in cui descrivevano per la prima volta il Sequential Equilibrium e mi sono imbattuto in un celebre esempio:
Extensive Form
Strategic Form
Tale gioco è stato descritto per la prima volta da Selten come esempio di situazione in cui il procedimento di backward induction non serve a molto, poichè l'unico sottogioco è il gioco stesso. Il mio problema è legato al calcolo degli Equilibri del gioco.
Utilizzando la Strategic Form ottengo due equilibri: (D, a, l) e (A, a, r)
Quando passo alla Extensive Form mi perdo. Ho utilizzato Gambit (che per motivi a me ignoti ha dei problemi nel calcolo degli Equilibri per giochi in forma estesa) e mi ha dato come risultato due equilibri:
1) P1 gioca "A", P2 gioca "a" 1/3 delle volte e "d" con il 66% di probabilità, P3 gioca "r";
2) P1 gioca "D", P2 gioca "a", P3 gioca "r" con una probabilità del 75% [citato da Kreps e Wilson].
Il mio problema in poche parole è: come ottengo questi risultati per gli equilibri derivati dalla Extensive Form?
Come devo pesare le probabilità? Come saltano fuori quel 75% e quel 66%?
Grazie a tutti e buon periodo di smaltimento cibarie post-feste!
Risposte
Se parli di equilibri per la estensive form, presumo ed immagino che tu stia parlando di equilibri di Nash (oltretutto, gli equilibri perfetti nei sottogiochi coincidono con gli equilibri di Nash in questo esempio, visto che non ci sono sottogiochi propri). Per definizione, essi sono gli equilibri (di Nash) della forma strategica corrispondente al dato gioco in forma estesa.
Per calcolarli, si usa la forma strategica. Ci si calcolano (con pazienza, se si è interessati anche a equilibri in strategie miste) le corrispondenze di miglior risposta e si vede come va a finire.
Quanto ai risultati che indichi, non capisco come mai il software gambit non trovi i due equilibri in pure (che restano equilibri anche quando si considera l'estensione mista del gioco). O, forse, semplicemente, non li hai indicati esplicitamente perché la tua attenzione era focalizzata sui "misti".
Visto che gambit ti da dei risultati, per vedere se sono giusti basta usare la def. di equilibrio, applicandola ai punti trovati da gambit. Non dovrebbe essere difficile.
Per calcolarli, si usa la forma strategica. Ci si calcolano (con pazienza, se si è interessati anche a equilibri in strategie miste) le corrispondenze di miglior risposta e si vede come va a finire.
Quanto ai risultati che indichi, non capisco come mai il software gambit non trovi i due equilibri in pure (che restano equilibri anche quando si considera l'estensione mista del gioco). O, forse, semplicemente, non li hai indicati esplicitamente perché la tua attenzione era focalizzata sui "misti".
Visto che gambit ti da dei risultati, per vedere se sono giusti basta usare la def. di equilibrio, applicandola ai punti trovati da gambit. Non dovrebbe essere difficile.
Sì sì, mi riferivo agli equilibri di Nash, soprattutto in virtù della caratteristica del gioco da lei ricordata in merito agli equilibri perfetti nei sottogiochi. Proprio per questo motivo ho tradotto il gioco in forma strategica e ho trovato due NE: (D, a, l) e (A, a, r). E fin qui tutto bene...
Il mio grande problema stava nel fatto che sia Selten (1975), sia Kreps & Wilson (1982), citavano i due equilibri in strategie miste che ho descritto nel mio post precedente, sottolineando come fossero facilmente derivabili (affermando implicitamente che lo fossero a partire dalla extensive form stessa). Adesso il dubbio è risolto e i numeri tornano ma per un po' l'esempio mi ha fatto letteralmente ammattire...
Quanto a gambit, in effetti ho omesso il fatto che il programma ottenesse anche i due NE in strategie pure, poichè quelli non erano un problema per me. Tuttavia c'è un fatto curioso... in gambit ogni gioco descritto in forma estesa si può tradurre immediatamente attraverso un'opzione disponibile nel suo corrispondente in forma strategica. In questi casi, quando si procede all'individuazione degli equilibri, il programma chiede in base a che tipo di forma si dovranno cercare gli equilibri, se strategica o estesa. La cosa curiosa è che nel caso del Selten's horse, quando procedevo con l'elencazione degli equilibri in base alla strategic form corrispondente, mi uscivano i due NE in strategie pure (che avevo già trovato), mentre usando la risoluzione via extensive form, mi uscivano i due NE in strategie miste (citati da Selten) più gli NE puri (che avevo trovato io via strategic form).
Boh?!?
Il mio grande problema stava nel fatto che sia Selten (1975), sia Kreps & Wilson (1982), citavano i due equilibri in strategie miste che ho descritto nel mio post precedente, sottolineando come fossero facilmente derivabili (affermando implicitamente che lo fossero a partire dalla extensive form stessa). Adesso il dubbio è risolto e i numeri tornano ma per un po' l'esempio mi ha fatto letteralmente ammattire...
Quanto a gambit, in effetti ho omesso il fatto che il programma ottenesse anche i due NE in strategie pure, poichè quelli non erano un problema per me. Tuttavia c'è un fatto curioso... in gambit ogni gioco descritto in forma estesa si può tradurre immediatamente attraverso un'opzione disponibile nel suo corrispondente in forma strategica. In questi casi, quando si procede all'individuazione degli equilibri, il programma chiede in base a che tipo di forma si dovranno cercare gli equilibri, se strategica o estesa. La cosa curiosa è che nel caso del Selten's horse, quando procedevo con l'elencazione degli equilibri in base alla strategic form corrispondente, mi uscivano i due NE in strategie pure (che avevo già trovato), mentre usando la risoluzione via extensive form, mi uscivano i due NE in strategie miste (citati da Selten) più gli NE puri (che avevo trovato io via strategic form).
Boh?!?
"Luce Raiffa":Io avevo imparato un po' ad usare gambit nella preistoria, ma poi non l'ho usato davvero e quindi non ricordo niente
Quanto a gambit, in effetti ho omesso il fatto che il programma ottenesse anche i due NE in strategie pure, poichè quelli non erano un problema per me. Tuttavia c'è un fatto curioso... in gambit ogni gioco descritto in forma estesa si può tradurre immediatamente attraverso un'opzione disponibile nel suo corrispondente in forma strategica. In questi casi, quando si procede all'individuazione degli equilibri, il programma chiede in base a che tipo di forma si dovranno cercare gli equilibri, se strategica o estesa. La cosa curiosa è che nel caso del Selten's horse, quando procedevo con l'elencazione degli equilibri in base alla strategic form corrispondente, mi uscivano i due NE in strategie pure (che avevo già trovato), mentre usando la risoluzione via extensive form, mi uscivano i due NE in strategie miste (citati da Selten) più gli NE puri (che avevo trovato io via strategic form).
Il comportamento che descrivi è in effetti strano: gli equilibri di Nash coincidono, per quanto detto. Una possibile spiegazione è che quando gli dai in pasto un gioco in forma strategica ci siano due opzioni settabili: usa solo strategie pure; usa anche le miste. E, magari, è settato di default o per storia pregressa l'uso di strategie pure. Altre idee "brillanti" non me ne vengono.
Salve. Guardando la data di questo post mi rendo conto che sono un pò in ritardo, ma non potevo fare a meno di scrivere.
Mi sto preparando per l'esame di tdg e propio oggi mi sono trovata a dover risolvere il Selten?s Horse.
Mi trovo anch'io in difficoltà per i misti. Premetto che l'esercizio che sto facendo è a pag 97 del Li-Calzi (spero abbiate presente il testo).
Prima di tutto ho fatto la forma strategica dove player 1 sceglie le righe, 2 le colonne e 3 le tabelle. A questo punto vedere i puri è semplice. Ho anche ragionato sui belifs per giustificare le mosse dei giocatori quando gli insieme di informazione non sono attivati dall'equilibrio.
Per quanto riguarda i misti il procedimento che ho fatto non mi porta ai risultati del libro.
Ho fatto i misti sulla forma strategica e mi viene che non ci possono essere per nessuno dei 3 miste a supporto pieno. Poi ho fatto il caso dove 2 giocatori mescolano e uno gioca una pura e anche lì non ci sono equilibri e poi il caso in cui due giocatori giocano una pura e l'altro una mista e mi vengono 2 eq. di cui uno dove 1 e 3 giocano D e l, e 2 gioca una mista 1/2a-1/2d. L'altro dove 1 e 2 giocano A a, e 3 gioca 1/2 l e 1/2 r.
Naturalmente non torna come dice il libro.
Cosa sbaglio?
Conoscete un testo dove il cavallo di Selten è risolto passo per passo?
Grazie!
Mi sto preparando per l'esame di tdg e propio oggi mi sono trovata a dover risolvere il Selten?s Horse.
Mi trovo anch'io in difficoltà per i misti. Premetto che l'esercizio che sto facendo è a pag 97 del Li-Calzi (spero abbiate presente il testo).
Prima di tutto ho fatto la forma strategica dove player 1 sceglie le righe, 2 le colonne e 3 le tabelle. A questo punto vedere i puri è semplice. Ho anche ragionato sui belifs per giustificare le mosse dei giocatori quando gli insieme di informazione non sono attivati dall'equilibrio.
Per quanto riguarda i misti il procedimento che ho fatto non mi porta ai risultati del libro.
Ho fatto i misti sulla forma strategica e mi viene che non ci possono essere per nessuno dei 3 miste a supporto pieno. Poi ho fatto il caso dove 2 giocatori mescolano e uno gioca una pura e anche lì non ci sono equilibri e poi il caso in cui due giocatori giocano una pura e l'altro una mista e mi vengono 2 eq. di cui uno dove 1 e 3 giocano D e l, e 2 gioca una mista 1/2a-1/2d. L'altro dove 1 e 2 giocano A a, e 3 gioca 1/2 l e 1/2 r.
Naturalmente non torna come dice il libro.
Cosa sbaglio?
Conoscete un testo dove il cavallo di Selten è risolto passo per passo?
Grazie!
"bianca cellele ":Solo per dire che ho cercato un bel po' in rete, senza trovare nulla.
Conoscete un testo dove il cavallo di Selten è risolto passo per passo?
Ciao!
Scusa il ritardo: spero di poterti essere ancora d’aiuto (nella speranza che questo post effettivamente lo sia).
Per prima cosa, direi di modificare i payoff derivanti da (D,l). Nell’Osborne-Rubinstein vengono dati come (3,3,2), mentre nell’extensive form del mio primo post sono (3,2,2). Posto ciò, sarebbe interessante capire che Selten’s horse stai affrontando: ci sono versioni diverse derivanti da payoffs differenti posti nella stessa struttura. Se stai affrontando quello che ho postato io le strategie miste si dovrebbero ottenere in questo modo.
Sostituiamo per praticità le strategie “D” con “L”, mentre “A” con “R”. Nel far questo seguiamo Selten (1975). Attribuiamo la probabilità p di scegliere “R”, “r” e “R” . I vari “L” sono 1-p.
I EQUILIBRIO IN BEHAVIORAL STRATEGIES:
Il migliore [l’unica definita sensible da Kreps & Wilson (1982)]:
P1 gioca "R", P2 gioca "R", P3 gioca "r" con una probabilità di ¼
Questa la otteniamo concentrandoci sul P3 che deve fare in modo di randomizzare il suo comportamento in modo tale da rendere gli altri giocatori indifferenti. Per far ciò abbiamo:
4p + 0(1-p) = 1
4p = 1
p = ¼
Se P3 non si comportasse così decidendo di giocare p>1/4, P2 sarebbe incentivato a modificare il suo comportamento scegliendo “L”. Per ovvi motivi l’equilibrio andrebbe a carte quarantotto.
II EQUILIBRIO IN BEHAVIORAL STRATEGIES:
P1 gioca “L”, P2 gioca “R” con probabilità 1/3, P3 gioca “r”
Questa la otteniamo concentradoci su P2 (ma va?!). Abbiamo quindi:
p + 4 (1 – p) = 3
3p = 1
P = 1/3
Se P2 non si comportasse così e tendesse a giocare “L” di più perderemmo l’equilibrio perchè P1 sarebbe incentivato a giocare “R” dato il comportamento di P3, che a sua volta dovrebbe cambiare.
PS: Behavioral strategies = mixed strategies in extensive games (Kuhn, 1953).
Scusa il ritardo: spero di poterti essere ancora d’aiuto (nella speranza che questo post effettivamente lo sia).
Per prima cosa, direi di modificare i payoff derivanti da (D,l). Nell’Osborne-Rubinstein vengono dati come (3,3,2), mentre nell’extensive form del mio primo post sono (3,2,2). Posto ciò, sarebbe interessante capire che Selten’s horse stai affrontando: ci sono versioni diverse derivanti da payoffs differenti posti nella stessa struttura. Se stai affrontando quello che ho postato io le strategie miste si dovrebbero ottenere in questo modo.
Sostituiamo per praticità le strategie “D” con “L”, mentre “A” con “R”. Nel far questo seguiamo Selten (1975). Attribuiamo la probabilità p di scegliere “R”, “r” e “R” . I vari “L” sono 1-p.
I EQUILIBRIO IN BEHAVIORAL STRATEGIES:
Il migliore [l’unica definita sensible da Kreps & Wilson (1982)]:
P1 gioca "R", P2 gioca "R", P3 gioca "r" con una probabilità di ¼
Questa la otteniamo concentrandoci sul P3 che deve fare in modo di randomizzare il suo comportamento in modo tale da rendere gli altri giocatori indifferenti. Per far ciò abbiamo:
4p + 0(1-p) = 1
4p = 1
p = ¼
Se P3 non si comportasse così decidendo di giocare p>1/4, P2 sarebbe incentivato a modificare il suo comportamento scegliendo “L”. Per ovvi motivi l’equilibrio andrebbe a carte quarantotto.
II EQUILIBRIO IN BEHAVIORAL STRATEGIES:
P1 gioca “L”, P2 gioca “R” con probabilità 1/3, P3 gioca “r”
Questa la otteniamo concentradoci su P2 (ma va?!). Abbiamo quindi:
p + 4 (1 – p) = 3
3p = 1
P = 1/3
Se P2 non si comportasse così e tendesse a giocare “L” di più perderemmo l’equilibrio perchè P1 sarebbe incentivato a giocare “R” dato il comportamento di P3, che a sua volta dovrebbe cambiare.
PS: Behavioral strategies = mixed strategies in extensive games (Kuhn, 1953).
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