Equazioni differenziali e serie storiche
ho una serie di domande :
- ho questo modello a tempo discreto per l'evoluzione del rendimento a breve
dove Z(t) è un disturbo Normale Standard
se ho capito bene si può esprimerlo nel continuo portandolo in forma differenziale, è cosi?
dopo qualche passaggio si ottiene:
- perchè i modelli per l'evoluzione dei tassi nel tempo sono rappresentati con equazioni differenziali??
d i(t) = ..f(i(t))...dW ...dt
es (black Karasinski) d ln(i) = (Teta - a ln(i))dt + s*dZ
- come si fa una simulazione del modello? in particolare dZ cosa esprime?
per rappresentare graficamente un possibile andamento del rendimento nel tempo, è necessario risolvere analiticamente l'equaz differenziale portandola in forma esplicita? i(t) = ...i(t0)..t
se no con quali programmi?
- come si fa a ricavare le caratteristiche probabilistiche del modello? E(i(t))
insomma è tutto l'argomento che mi interessa e delle equaz differenziali so poca cosa
biagiopas[/code][quote][/quote][code][/code]
- ho questo modello a tempo discreto per l'evoluzione del rendimento a breve
i(t) = i(t-1)^r * c * exp{s*Z(t)}
dove Z(t) è un disturbo Normale Standard
se ho capito bene si può esprimerlo nel continuo portandolo in forma differenziale, è cosi?
dopo qualche passaggio si ottiene:
ln(i(t)) - r*ln(i(t-1))= ln c + s*Z(t)
- perchè i modelli per l'evoluzione dei tassi nel tempo sono rappresentati con equazioni differenziali??
d i(t) = ..f(i(t))...dW ...dt
es (black Karasinski) d ln(i) = (Teta - a ln(i))dt + s*dZ
- come si fa una simulazione del modello? in particolare dZ cosa esprime?
per rappresentare graficamente un possibile andamento del rendimento nel tempo, è necessario risolvere analiticamente l'equaz differenziale portandola in forma esplicita? i(t) = ...i(t0)..t
se no con quali programmi?
- come si fa a ricavare le caratteristiche probabilistiche del modello? E(i(t))
insomma è tutto l'argomento che mi interessa e delle equaz differenziali so poca cosa
biagiopas[/code][quote][/quote][code][/code]
Risposte
- perchè i modelli per l'evoluzione dei tassi nel tempo sono rappresentati con equazioni differenziali??
d i(t) = ..f(i(t))...dW ...dt
es (black Karasinski) d ln(i) = (Teta - a ln(i))dt + s*dZ
- come si fa una simulazione del modello? in particolare dZ cosa esprime?
per rappresentare graficamente un possibile andamento del rendimento nel tempo, è necessario risolvere analiticamente l'equaz differenziale portandola in forma esplicita? i(t) = ...i(t0)..t
se no con quali programmi?
Non si tratta di equazioni differenziali ordinarie, ma di equazioni differenziali stocastiche, la cui soluzione è un processo stocastico esso stesso. è una branca della matematica relativamente nuova, ma molto utilizzata in applicazioni finanziarie.
http://en.wikipedia.org/wiki/Stochastic ... l_equation
dZ è un incremento di un processo di Wiener, in pratica consideralo come una quantità che si distribuisce in modo normale con media zero e varianza dt (dove dt è il differenziale ordinario).
insomma è tutto l'argomento che mi interessa e delle equaz differenziali so poca cosa
Come detto l'argomento è abbastanza nuovo: se ti interessa l'argomento dal punto di vista matematico, non sono in grado di darti riferimenti. Se ti interessano le applicazioni finanziarie e le simulazioni ti consiglio, a livello introduttivo "Hull : Opzioni, futures e altri derivati" se la tua formazione è finanziaria, oppure "Wilmott : Introduzione alla finanza quantitativa" se la tua formazione è scientifica.
Saluti
ciao SnakePlinsky
grazie 1000 per le risposte e per le indicazioni bibliografiche
riguardo all'equazione
i(t) = i(t-1)^r * c * exp{s*Z(t)}
ho capito che è proprio la versione a tempo discreto della formula di black karasinski
d ln(i) = (Teta - a ln(i))dt + s dZ
per favore avreste materiale da inviarmi per email sul modello di black karasinski ( a cominciare es con l'articolo originale) con esempi di valutazione di opzioni o di altri derivati??
ma il modello di black karasinski è ad intensità discreta o continua (i è discreto o continuo)
se discreto qual'è un modello lognarmale continuo??
per discreto o continuo non intendo il tempo ma il livello di i
es nel modello black derman toy, l'interesse i è discreto con evoluzione modellata con albero binomiale
ciaooo
grazie anticipatamente
biagiopas
grazie 1000 per le risposte e per le indicazioni bibliografiche
riguardo all'equazione
i(t) = i(t-1)^r * c * exp{s*Z(t)}
ho capito che è proprio la versione a tempo discreto della formula di black karasinski
d ln(i) = (Teta - a ln(i))dt + s dZ
per favore avreste materiale da inviarmi per email sul modello di black karasinski ( a cominciare es con l'articolo originale) con esempi di valutazione di opzioni o di altri derivati??
ma il modello di black karasinski è ad intensità discreta o continua (i è discreto o continuo)
se discreto qual'è un modello lognarmale continuo??
per discreto o continuo non intendo il tempo ma il livello di i
es nel modello black derman toy, l'interesse i è discreto con evoluzione modellata con albero binomiale
ciaooo
grazie anticipatamente
biagiopas
"biagiopas":
ciao SnakePlinsky
grazie 1000 per le risposte e per le indicazioni bibliografiche
riguardo all'equazione
i(t) = i(t-1)^r * c * exp{s*Z(t)}
ho capito che è proprio la versione a tempo discreto della formula di black karasinski
d ln(i) = (Teta - a ln(i))dt + s dZ
per favore avreste materiale da inviarmi per email sul modello di black karasinski ( a cominciare es con l'articolo originale) con esempi di valutazione di opzioni o di altri derivati??
ma il modello di black karasinski è ad intensità discreta o continua (i è discreto o continuo)
se discreto qual'è un modello lognarmale continuo??
per discreto o continuo non intendo il tempo ma il livello di i
es nel modello black derman toy, l'interesse i è discreto con evoluzione modellata con albero binomiale
biagiopas@yahoo.it
ciaooo
grazie anticipatamente
biagiopas
Ho dato un'occhiata all'Hull : il modello black karasinski (ci sono 9 righe) è in pratica il modello Hull White, solo che si fa seguire il processo alla Ho Lee al logaritmo del tasso, per evitare che divenga negativo (ipotesi daltronde irrealistica).
ma il modello di black karasinski è ad intensità discreta o continua (i è discreto o continuo)
è continuo, nel senso che d ln(i) = (Teta - a ln(i))dt + s dZ descrive il processo (stocastico in tempo continuo) del tasso istantaneo. Ricorda sempre che la notazione d ln(i) = (Teta - a ln(i))dt + s dZ viene usata per indicare impropriamente l'integrale stocastico di Ito.
Tuttavia scrivere d ln(i) = (Teta - a ln(i))dt + s dZ risulta comodo per avere un idea della dinamica del processo e fare le simulazioni (wilmott consiglia di immaginarsela come una formula per generare passeggiate aleatorie al computer).
Dall'Hull leggo sempre " il modello black karasinski non ha la trattabilità matematica dei modelli Ho Lee e Hull White, non consente di ricavare formule analitiche per la valutazione delle obbligazioni, espresse in termini di i".
Quindi vedi un pò tu, io mi concentrerei sul modello Hull White, di cui questo è solo una (inutile?) raffinazione.
P.S.
Se ti interessano le applicazioni finanziarie e le simulazioni ti consiglio, a livello introduttivo "Hull : Opzioni, futures e altri derivati" se la tua formazione è finanziaria, oppure "Wilmott : Introduzione alla finanza quantitativa" se la tua formazione è scientifica.
Ripensadnoci ti consiglio entrambi per iniziare, i capitoli sulle cose che ti interessano sono forse più approfonditi su Hull.
riguardo all'equazione
i(t) = i(t-1)^r * c * exp{s*Z(t)} (1)
ho capito che è proprio la versione a tempo discreto della formula di black karasinski
d ln(i) = (Teta - a ln(i))dt + s dZ(2)
A occhio direi che (1) sembra la soluzione di (2), ma potrei sbagliarmi, purtroppo non ne sò di più
. Ricorda sempre che si tratta di equazioni differenziali stocastiche, la cui soluzione è un processo stocastico e per cui valgono specifiche regole di integrazione.Se ti interessa approfondire il tema ti consiglio il forum di Wilmott, là si tratta esclusivamente di questi argomenti.
>A occhio direi che (1) sembra la soluzione di (2), ma potrei sbagliarmi, purtroppo non ne sò di più . Ricorda sempre che si tratta di equazioni differenziali >stocastiche, la cui soluzione è un processo stocastico e per cui valgono specifiche regole di integrazione.
ok mi sto avviando ora all'argomento e non so se riuscirò ad approfondire l'argomento da un pdv matematico, per ora le equazioni differenziali stocastiche sono il modo per passare dai modelli a tempo discreto, dei quali ho un'idea, ai modelli a tempo continuo che invece sono per me una novità
per esempio il modello AR(1) è il più semplice modello dinamico che conosco, per portarlo in continuo
yt = r yt-1 + sZt
dove Z è N(0,1) e quindi sZt è N(0,s^2)
yt = r yt-1 + sZt
yt - r yt-1 + yt-1 - yt-1 = sZt
yt - yt-1 = (r-1) yt-1 + sZt
yt - yt-1 = (r-1) yt-1 + sZt
yt - yt-1 = Delta yt/Delta t
Delta yt/Delta t = (r-1) yt-1 + sZt
dyt = (r-1) yt dt + s dZt
credo che per fare una simulazione al computer su un modello scritto con la formula nel continuo bisogna ricavare il corrispondente modello a tempo discreto ma a questo livello non vedo le difficoltà che prospetti parlando di 'particolari regole di integrazione' forse quando ci sono parametri che sono funzioni del tempo??
comunque il motivo per cui mi interessa l'argomento è perchè sto scrivendo la tesi in economia per la triennale vorrei sfruttare l'occasione per imparare il piu possibile
ps a che titolo hai a che fare con queste cose , se si puo sapere?
ho avuto la fortuna di trovare i libri che mi hai indicato
un capitolo della tesi dovrebbe essere dedicato alla descrizione dei modelli piu elementeri di evoluzione dei tassi
e un altro capitolo alla valutazione delle opzioni cosi ho iniziato a presentare il modello binomiale ...
biagiopas
http://xoomer.alice.it/biagiopas
ok mi sto avviando ora all'argomento e non so se riuscirò ad approfondire l'argomento da un pdv matematico, per ora le equazioni differenziali stocastiche sono il modo per passare dai modelli a tempo discreto, dei quali ho un'idea, ai modelli a tempo continuo che invece sono per me una novità
per esempio il modello AR(1) è il più semplice modello dinamico che conosco, per portarlo in continuo
yt = r yt-1 + sZt
dove Z è N(0,1) e quindi sZt è N(0,s^2)
yt = r yt-1 + sZt
yt - r yt-1 + yt-1 - yt-1 = sZt
yt - yt-1 = (r-1) yt-1 + sZt
yt - yt-1 = (r-1) yt-1 + sZt
yt - yt-1 = Delta yt/Delta t
Delta yt/Delta t = (r-1) yt-1 + sZt
dyt = (r-1) yt dt + s dZt
credo che per fare una simulazione al computer su un modello scritto con la formula nel continuo bisogna ricavare il corrispondente modello a tempo discreto ma a questo livello non vedo le difficoltà che prospetti parlando di 'particolari regole di integrazione' forse quando ci sono parametri che sono funzioni del tempo??
comunque il motivo per cui mi interessa l'argomento è perchè sto scrivendo la tesi in economia per la triennale vorrei sfruttare l'occasione per imparare il piu possibile
ps a che titolo hai a che fare con queste cose , se si puo sapere?
ho avuto la fortuna di trovare i libri che mi hai indicato
un capitolo della tesi dovrebbe essere dedicato alla descrizione dei modelli piu elementeri di evoluzione dei tassi
e un altro capitolo alla valutazione delle opzioni cosi ho iniziato a presentare il modello binomiale ...
biagiopas
http://xoomer.alice.it/biagiopas
"biagiopas":
>A occhio direi che (1) sembra la soluzione di (2), ma potrei sbagliarmi, purtroppo non ne sò di più . Ricorda sempre che si tratta di equazioni differenziali >stocastiche, la cui soluzione è un processo stocastico e per cui valgono specifiche regole di integrazione.
ok mi sto avviando ora all'argomento e non so se riuscirò ad approfondire l'argomento da un pdv matematico, per ora le equazioni differenziali stocastiche sono il modo per passare dai modelli a tempo discreto, dei quali ho un'idea, ai modelli a tempo continuo che invece sono per me una novità
per esempio il modello AR(1) è il più semplice modello dinamico che conosco, per portarlo in continuo
yt = r yt-1 + sZt
dove Z è N(0,1) e quindi sZt è N(0,s^2)
yt = r yt-1 + sZt
yt - r yt-1 + yt-1 - yt-1 = sZt
yt - yt-1 = (r-1) yt-1 + sZt
yt - yt-1 = (r-1) yt-1 + sZt
yt - yt-1 = Delta yt/Delta t
Delta yt/Delta t = (r-1) yt-1 + sZt
dyt = (r-1) yt dt + s dZt
credo che per fare una simulazione al computer su un modello scritto con la formula nel continuo bisogna ricavare il corrispondente modello a tempo discreto ma a questo livello non vedo le difficoltà che prospetti parlando di 'particolari regole di integrazione' forse quando ci sono parametri che sono funzioni del tempo??
comunque il motivo per cui mi interessa l'argomento è perchè sto scrivendo la tesi in economia per la triennale vorrei sfruttare l'occasione per imparare il piu possibile
ps a che titolo hai a che fare con queste cose , se si puo sapere?
ho avuto la fortuna di trovare i libri che mi hai indicato
un capitolo della tesi dovrebbe essere dedicato alla descrizione dei modelli piu elementeri di evoluzione dei tassi
e un altro capitolo alla valutazione delle opzioni cosi ho iniziato a presentare il modello binomiale ...
biagiopas
http://xoomer.alice.it/biagiopas
Le difficoltà non sono nel portare dal continuo al discreto o viceversa, sono nel trovare soluzioni (formule in forma chiusa) per i mdelli continui. Rigurado alle particolari regole di integrazione, guarda il lemma di Ito ( http://en.wikipedia.org/wiki/Ito's_lemma )
Se sei alla triennale direi che te la caverai ottimamente, di solito questi modelli si presentano alla specialistica.
ps a che titolo hai a che fare con queste cose , se si puo sapere?
Diciamo che ne so un pò di più di te, ma non molto...se continui così mi supererai senz'altro
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