Duopolio di Cournot con due differenti beni.
Qualche giorno fa leggendo il libro di Dutta "strategies and games" mi sono imbattuto in un esercizio interessante riguardo il duopolio di Cournot.
L'esercizio per chi vuole leggere la versione originale si trova a pag.88, è presente anche su google libri.
Abbiamo due aziende che producono due differenti beni tra loro sostitutivi, le regole del mercato sono quelle classiche del duopolio di Cournot. Le curve di domanda dei due beni sono:
$p_1=a-bq_1-dq_2$
$p_2=a-bq_2-dq_1$
con $b>0$ e $d>0$.
I costi di produzione sono solo variabili e uguali per tutte e due le aziende, sono pari a $c$ dollari per unità di output con $a>c$.
La prima parte chiedeva di trovare la funzione di best response, cosa non difficile uguale a:
$R_1(q_2)=(a-c-dq_2)/(2b)$ se $q_2<=(a-c)/d$ o uaguale a $0$ se $q_2>(a-c)/(2b)$.
$R_2(q_1)=(a-c-dq_1)/(2b)$ se $q_1<=(a-c)/d$ o uaguale a $0$ se $q_1>(a-c)/(2b)$.
Il secondo step dell'esercizio chiede di calcolare l'equilibri di Nash, ho fatto i calcoli e la quantità di equilibrio mi viene:
$q_1=q_2=(d-2b)*(a-c)/(d^2+2b^2).
a me questo risultato non convince molto, infatti non possiamo avere una quantità negativa di equilibrio ma per essere positiva dovrebbe essere $a>c$ e questo va bene perchè era nelle ipotesi iniziali, $d>2b$ ... questo mi convince meno...
ho ricontrollato i calcoli e mi sembrano giusti, magari è una sciocchezza che mi sfugge...
L'esercizio per chi vuole leggere la versione originale si trova a pag.88, è presente anche su google libri.
Abbiamo due aziende che producono due differenti beni tra loro sostitutivi, le regole del mercato sono quelle classiche del duopolio di Cournot. Le curve di domanda dei due beni sono:
$p_1=a-bq_1-dq_2$
$p_2=a-bq_2-dq_1$
con $b>0$ e $d>0$.
I costi di produzione sono solo variabili e uguali per tutte e due le aziende, sono pari a $c$ dollari per unità di output con $a>c$.
La prima parte chiedeva di trovare la funzione di best response, cosa non difficile uguale a:
$R_1(q_2)=(a-c-dq_2)/(2b)$ se $q_2<=(a-c)/d$ o uaguale a $0$ se $q_2>(a-c)/(2b)$.
$R_2(q_1)=(a-c-dq_1)/(2b)$ se $q_1<=(a-c)/d$ o uaguale a $0$ se $q_1>(a-c)/(2b)$.
Il secondo step dell'esercizio chiede di calcolare l'equilibri di Nash, ho fatto i calcoli e la quantità di equilibrio mi viene:
$q_1=q_2=(d-2b)*(a-c)/(d^2+2b^2).
a me questo risultato non convince molto, infatti non possiamo avere una quantità negativa di equilibrio ma per essere positiva dovrebbe essere $a>c$ e questo va bene perchè era nelle ipotesi iniziali, $d>2b$ ... questo mi convince meno...
ho ricontrollato i calcoli e mi sembrano giusti, magari è una sciocchezza che mi sfugge...
Risposte
Dv'esserci un errore di calcolo.
Io ottengo l'equazione:
$4b^2 q_2 = (a-c)(2b-d) + d^2 q_2$
Da cui:
$q_2 = \frac{(a-c)(2b-d)}{4b^2 - d^2} = \frac{a-c}{2b + d}$
Tutto regolare, direi.
Basta assumere che sia $2b > d$, che è una ipotesi molto "naturale" (vuole dire che il prezzo del bene $1$ reagisce di più alla quantità di bene $1$ prodotto che non a quella del bene $2$ e idem a ruoli dei beni rovesciati)
Se $b=d=1$, come di solito si fa nel caso più semplice possibile (prodotto identico e $b=1$), viene il risultato ben noto, ovvero $(a-c)/3$
Io ottengo l'equazione:
$4b^2 q_2 = (a-c)(2b-d) + d^2 q_2$
Da cui:
$q_2 = \frac{(a-c)(2b-d)}{4b^2 - d^2} = \frac{a-c}{2b + d}$
Tutto regolare, direi.
Basta assumere che sia $2b > d$, che è una ipotesi molto "naturale" (vuole dire che il prezzo del bene $1$ reagisce di più alla quantità di bene $1$ prodotto che non a quella del bene $2$ e idem a ruoli dei beni rovesciati)
Se $b=d=1$, come di solito si fa nel caso più semplice possibile (prodotto identico e $b=1$), viene il risultato ben noto, ovvero $(a-c)/3$
Grazie Fioravante, come sempre a riguardare i propri calcoli (specie se fatto verso mezzanotte... 
) non si trova mai l'errore... adesso ho controllato e l'ho trovato... così posso continuare l'esercizio.
) non si trova mai l'errore... adesso ho controllato e l'ho trovato... così posso continuare l'esercizio.
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