Curve indifferenza - trattazione matematica

[fkkk]

salve,

il quesito è il seguente:

funzione utilità A: U(A) = \(\displaystyle c*g \)
funzione utilità B: U(B) = \(\displaystyle c+0,2*g \)


le curve di indifferenza risultanti sono le seguenti:

Curva di indifferenza A: \(\displaystyle g*c=K/2 \)
curva di indifferenza B: \(\displaystyle c+0,2*g=H \)

il testo, in una nota esplicativa, afferma che "queste funzioni [curva indifferenza A e B] si ottengono uguagliando a zero il differenziale totale delle funzioni di utilità, e per successiva integrazione, dove K e H sono le relative costanti"

potreste esplicitare i passaggi che, partendo dalle funzioni di utilità, permettono di ottenere le relative curve di indifferenza?

grazie!

[fede.unive]

La nota esplicativa è della serie U.C.A.S. (Uffico Complicazione Affari Semplici).
Per risponderti correttamente avrei bisogno di sapere però se $c$ e $g$ sono entrabe variabili indipendenti ovvero uno dei due è solo un parametro.

[fkkk]

c e g sono due variabili indipendenti (o almeno lo spero!)

[fede.unive]

Allora, scrivo "meglio" le funzioni di utilità (sostituisco $c$ con $x$ e $g$ con $y$...mi piace di più )

$f(x,y)=x*y$

$g(x,y)=x+0.2*y$

a) SPIEGAZIONE COMPLICATA (quella della nota)
Per il teorema del differenziale totale, sai che:

$text{d} f=f'_x * text{d} x+ f'_y * text{d} y$
$text{d} f=y * text{d} x+ x * text{d} y$

Ora poni tale quantità pari a $0$.

$y * text{d} x+ x * text{d} y=0$

e integri

$int ( y * text{d} x+ x * text{d} y)=int 0$
$int y * text{d} x+ int x * text{d} y= 0$
$x*y + C_1 + x*y + C_2 = 0$
$2*x*y= - (C_1+C_2)$
$x*y=- {C_1+C_2}/2$

Posto $K=-(C_1+C_2)$, risulta:

$x*y=K/2$

Per la seconda funzione è lo stesso:

$text{d} f=f'_x * text{d} x+ f'_y * text{d} y$
$text{d} f=1 * text{d} x+0.2 * text{d} y$

Poni pari a $0$ e integri:

$ text{d} x+0.2 * text{d} y=0$
$int( text{d} x+0.2 * text{d} y)=int 0$
$int text{d} x+int 0.2 * text{d} y=0$
$ x + C_1+ 0.2 *y + C_2=0$
$ x + 0.2 *y =-(C_1+ C_2)$

Sostituendo $H=-(C_1+C_2)$, risulta:

$ x + 0.2 *y =H$

b) SPIEGAZIONE SEMPLICE
Hai queste due funzioni di utilità:

$f(x,y)=x*y$ $ $ e $ $ $g(x,y)=x+0.2*y$

le curve di indifferenza non sono nient'altro che le curve di livello della funzione, ossia le curve del tipo:

$f(x,y)=k$ $ $ e $ $ $g(x,y)=k$

ossia:

$x*y=k$ $ $ e $ $ $x+0.2*y=k$

che con opportune parametrizzazioni, ti danno le tue espressioni.

[fkkk]

perfetto! di grande utilità! ringrazio entrambi, e colgo l'occasione per chiedervi il titolo di un buon testo per rinfrescare le nozioni di economia matematica.

[fede.unive]

"Sergio":@fede.unive:
Mi è piaciuta soprattutto la faccenda dell'UCAS

A volte gli economisti (penso per insicurezza...) diventano più formali dei matematici stessi, perdendo di vista il nocciolo della questione. Poi sono degli idea (nel 99.9% dei casi) che una dimostrazione/spiegazione è tanto più bella quanto meno "passaggi" usa.

Per il discorso del libro di economia matematica, Simon e Blume, Matematics for Economists, è veramente molto completo (e non ci sono scritte scemenze come, a volte, nei libri di matematica per economisti succede).