Controllo risultato parametri da grafico

[Marco1985Mn]

Rieccomi Gabriella, spero sia l’ultimo dubbio dell’anno 2024 .
Non riesco a capire bene come svolgere questo esercizio ma provo a impostarlo così:
“In figura è rappresentato il grafico della funzione di costo medio. Sapendo che la funzione di costo ha espressione analitica del tipo $C=q^2+kq+h$. Quali sono i valori di $k$ e $h$?”






Dal grafico capisco che la funzione di costo medio ha un minimo in corrispondenza di $(30,80)$ quindi in quel punto vi è incrocio tra costo medio e costo marginale. A quel punto ricavo dalla funzione di costo, quella del costo medio e del costo marginale e procedo a impostare l’equazione.
$C_(medio)=q+k+h/q$
$C’=2q+k$
Sostituisco q=30 e ottengo che h=900
Da li sostituisco $h=900$ e nel costo medio impostando = 80
$80=30+k+(900/30)$
$K=20$
Può essere corretto?
Grazie mille

[apatriarca]

Non ne so molto di economia, ma l'equazione che ha per \(C(q) = q^2 + k\,q + h\) non può avere il grafico mostrato in figura. Infatti, se faccio un cambio di variabile \(s = q + k/2,\) ottengo
\[ C(s) = \left(s - \frac{k}{2}\right)^2 + k\,\left(s - \frac{k}{2}\right) + h = s^2 + \left(h - \frac{k^2}{4}\right). \]
La funzione è quindi simmetrica intorno al punto di minimo \(s = 0\) (\(q = - k/2\)). Nel minimo, la funzione vale
\(C(q = -k/2) = h - k^2/4.\)

Se hai che il minimo si trova a \(q = 30,\) allora \(k = -60.\) Sapendo che \(C(q = 30) = 80,\) allora \(h = 80 + 900 = 980\). Infatti, andando a sostituire nell'equazione originale hai
\[ (30)^2 - 60 \times 30 + 980 = 80. \]

Non mi è chiaro in che modo hai calcolato \(C_{medio}\). Il minimo si calcola a partire dalla derivata della funzione, settando \(C'(q) = 2\,q + k = 0.\) Risolvi quindi per \(k = - 2q = - 2 \times 30 = - 60.\) A questo punto puoi semplicemente calcolare \(h\) dall'equazione originale calcolando \(h = 80 - q^2 - k\,q = 980.\) Tuttavia, come ho già osservato, \(C(q) = q^2 + k\,q + h\) non ha quel grafico ed è forse il motivo per cui non hai ottenuto i risultati corretti facendo i tuo calcoli.

EDIT: Ho notato solo ora che il grafico rappresenta \(C_{m}(q)\) (il segno grafico sopra il grafico non aiuta a comprendere il problema) che dalla tua formula suppongo quindi essere \(C(q)/q\). Se è così allora hai che il minimo si ha con
\[ C'_m(q) = 1 - \frac{h}{q^2} = 0 \quad \implies \quad q^2 = h = 30^2 = 900. \]
Da qui si può calcolare \(k = 80 - h/q - q = 80 - 2\,q = 20.\) Quindi insomma il tuo risultato è corretto. Suppongo tu abbia usato un qualche tipo di equazione che ti è stata data (immagino \(C' = C_m\)) per trovare il minimo invece di calcolarti la derivata di \(C_m\).

[gabriella127]

@ apatriarca sì, è come dici, si sa dalla teoria economica che il costo marginale (derivata della funzione di costo) passa per il minimo della funzione di costo medio, ossia lì si ha Costo marginale= Costo medio.
Dalla figura sappiamo che il punto di costo medio minimo ha coordinate ($30, 80)$.

Cioè si parte dalle due equazioni che ha scritto Marco

$ C_{medio}=q+k+h/q $
$ C’=2q+k $

che, sostituendo le coordinate del punto di minimo del costo medio, diventano

$ 80=30+k+h/30 $
$ 80=2\cdot 30+k $

e dalla seconda abbiamo $k=20$. E poi dalla prima ricaviamo $h$

[Marco1985Mn]

Grazie mille per le risposte. In effetti il testo del prof è scritto in modo da trarre in inganno gli studenti:
Nel testo infatti dice che il grafico rappresenta la funzione di costo medio, per poi fornire come dato la funzione di costo totale. Dividendo la funzione di costo totale per “q” si ottiene la funzione del costo medio.
Effettivamente come ha fatto Gabriella era più semplice di come l’ho impostata io . Bastava calcolare il valore del costo marginale in corrispondenza di $q=30$ e ricavare il parametro k per poi sostituirlo nella funzione del costo medio.