Arbitraggio

[Walter97lor]

Ciao a tutti, pongo questa domanda in quanto non riesco a capire bene la soluzione.

Il prezzo di un’azione è di $ S = 30 $ e tra 1 anno potrebbe scendere o salire del 20%. Il tasso d’interesse privo di rischio è pari al 6% (annuo composto continuamente). L’azione non paga dividendi.
a) Qual è il prezzo di un’opzione con prezzo d’esercizio di $ K = 31 $ e scadenza a 1 anno?
b) Supponete che il prezzo dell’opzione call sia di $ c = 1 $. Quanto sarebbe il profitto di arbitraggio? dimostrate che tale profitto sarebbe privo di rischio (suggerimento: mostrate il valore del portafoglio di replica in ciascuno stato del mondo).

a) Saltando la soluzione, che è banale, ho determinato che il costo della call è $ c = 3.06 $

b) Calcolando il portafoglio di replica ottengo:

$ Delta * S + x_0 = 0.471 * 30 -9.434 = 3.06 $, cioè il valore della call determinato prima.
Considerato che la call ha un prezzo di $ c=1 $ ottengo: profitto di arbitraggio $ 3.06-1 = 2.06$.
Non capisco però, numericamente, come dimostrare che il profitto è privo di rischio.
Grazie a chi risponderà.

[Gughigt]

Ciao! Provo nel minor tempo possibile a farti capire davvero cosa sia un arbitraggio fatto su uno strumento derivato in modo da darti gli strumenti per poter rispondere facilmente alla domanda che ti è stata posta.
Prendiamo a titolo esemplificativo una call europea, per evitare arbitraggi non rischiosi - tra le altre cose - deve valere che:

$c>=max[(S_t-Ke^(-delta(t,T)(T-t)));0]$

questo limite (se non ti salta in mente la soluzione dell'esercizio a questo punto ristudia tutto sulle le opzioni bene!) può essere meglio compreso confrontando le due seguenti strategie (portafogli):

$A$: prendo una posizione lunga sulla call ed investo liquidità pari a $K*e^(-delta(t,T)(T-t))$ (che verrà investita al tasso continuo risk-free $delta(t,T)$) [/list:u:2sl4o13r]

$B$: lunga sul sottostante $S_((.))$[/list:u:2sl4o13r]
(ricordati che l'opzione call ti dà il diritto di comprare a scadenza ad un prezzo prefissato ($K$) il sottostante.
Confrontiamo a questo punto le due ipotesi che ti consentono di avere il sottostante a scadenza:

$A$ Compro call e tengo da parte la liquidità necessaria a comprare il titolo allo strike[/list:u:2sl4o13r]

$B$ Compro il sottostante[/list:u:2sl4o13r]
corrispondenti in termini friendly a quanto ho scritto poco più sopra).


	$t$	$T$	$T$
	$S_T>K$	$S_T<=K$	$A$
$K$	$S_(T)-K+K=S_T$	$B$	$-S_t$
$S_T$	$A-B$	$-c-Ke^(-delta(t,T)(T-t))+S_t$	$K-S_T$


Una precisazione: il saldo $A-B$ significa che sono andato lungo sul portafoglio $A$ e corto sul portafoglio $B$.
Iniziamo a ragionare: $A$ in ogni scenario, sia che lo strike sia inferiore rispetto al sottostante, sia che sia superiore, vale almeno tanto quanto $B$ ed in un caso addirittura vale di più; quindi il valore di $A$ oggi non può essere inferiore a $B$, formalmente:

$c+Ke^(-delta(t,T)(T-t))>=S_t$

Se così non fosse - ipotesi assurda - sarebbe possibile effettuare un arbitraggio non rischioso procedendo nel modo seguente:

Posizione lunga su $A$[/list:u:2sl4o13r]

Posizione corta su $B$[/list:u:2sl4o13r]
e i saldi finali sarebbero quelli dell'ultima riga della tabella, cioè: saldo positivo (strettamente) in $t$ e saldo non negativo in $T$ (in un caso addirittura sicuramente positivo e cioè quando $S_T>K$). Quello che vedi scritto in rosso è un arbitraggio non rischioso bello e buono o se ti piace di più è un "profitto privo di rischio".
Per essere puntuale aggiungo la considerazione che il prezzo in quanto tale [nota]Anche se in questi tempi, visti i tassi di policy negativi, non si sa mai.[/nota] non può essere negativo e quindi la conclusione è che:

$c>=max[(S_t-Ke^(-delta(t,T)(T-t)));0]$

A questo punto - ragionando in modo analogo - (visto che con i tuoi dati non stai violando questo specifico limite) come puoi sfruttare a tuo vantaggio questa discrepanza di prezzo? Cosa puoi vendere e/o comprare per assicurarti un profitto non rischioso? Non credo di doverti dare io la soluzione direttamente ma ti do un ulteriore suggerimento: in finanza si dice "buy low sell high".
Nota che un ragionamento per arbitraggio può essere fatto oltre che per i limiti delle opzioni (superiori e inferiori, call o put, americane o europee) anche per qualsiasi strumento finanziario elementare (e.g. pensa al teorema di "decrescenza rispetto alla scadenza" relativo alle obbligazioni) o non ed inoltre sull'ipotesi di assenza di opportunità di arbitraggio si basano pressoché tutti i modelli di pricing.

Spero di esserti stato d'aiuto, se avessi necessità di ulteriori chiarimenti chiedi senza problemi.

[Gughigt]

Temo di non essere stato chiaro. Per essere di supporto oltre che all'utente anche a chi dovesse trovarsi davanti a problemi simili espongo di seguito la soluzione.
Dunque, data la seguente call europea[nota]In assenza di dividendi l'americana vale allo stesso modo dell'europea[/nota]:

[*:1okebjfq]$S_(t)=30$[/*:m:1okebjfq]
[*:1okebjfq]Scadenza tra un anno[/*:m:1okebjfq]
[*:1okebjfq]$K=31$[/*:m:1okebjfq]
[*:1okebjfq]$u=1,2 , d=0,8$[/*:m:1okebjfq]
[*:1okebjfq]$delta(0,1)=0,06$[/*:m:1okebjfq][/list:u:1okebjfq]
Intanto specifico che il prezzo della call non è $c=3,06$ ma $c=3,0823$. Infatti,


\(\displaystyle 30_{\searrow 24 }^{\nearrow 36} \)

con

$p=(e^(delta*(T-t))-d)/((u-d))=(e^(0,06*1)-0,8)/(1, 2-0, 8)=0,65459$

lo strumento derivato si comporta in questo modo:

\(\displaystyle c_{\searrow 0 }^{\nearrow 5} \)

Il valore di $c$ è quindi:

$c=p*c_(u)*e^(delta(T-t))=0,65459*5e^(-0,06*1)=3,0823$

Per quanto riguarda poi il punto b), Il portafoglio di replica è soluzione del sistema:


${ (Delta*S_t*u+B e^(delta(T-t))=c_u ),( Delta*S_t*d+B e^(delta(T-t))=c_d ):}$


e cioè:


${ ( Delta=(c_u-c_d)/((u-d)*S_t) ),(B=(u*c_d-d*c_u)/((u-d)*e^(delta(T-t))) ):}$


da cui:


$Delta=0,41667 ^^ B=-9,41765$


Al tempo $t$, il valore del portafoglio di replica è:


$Delta*S_t+B=0,41667*30-9,41765=3,0823$


ovviamente pari al valore di $c$ precedentemente trovato (la soluzione proposta da Walter presentava criticità anche a questo punto visto che, stando ai suoi risultati: $ 0.471 * 30 -9.434=4,96 != 3.06 $ ).
Addentriamoci ora nell'arbitraggio vero e proprio. Affinché non sia possibile effettuare arbitraggi non rischiosi deve valere (a questo punto dovrebbe essere più che chiaro) che:

$Delta*S_t+B=c$

Se però $c$ fosse pari ad $1$, allora l'equazione di sopra non sarebbe verificata ed in particolare:

$Delta*S_t+B>c$

A questo punto, vendendo allo scoperto $0,41667$ unità di $S$ al prezzo di $30$ si ottiene la somma di $12,5$, di questi si investe $9,41765$ al tasso risk-free ed inoltre si acquista la call sottovalutata al prezzo di $1$ il payoff sarà di:


$0,41667*30-9,41765-1=2,0823$


Che è il profitto da arbitraggio privo di rischio[nota]In t=T sarà necessario evidentemente ribilanciare a partire sempre dalla replica.[/nota].