Applicazione regola di Bayes
Un saluto a tutti. 
Ho sempre avuto qualche problema con l'applicazione della regola di Bayes e leggendo un libro di teoria dei giochi (non il solito Osborne...
) mi sono imbattuto nello svolgimento di un esercizio non completamente chiaro ai miei occhi.
Il gioco in questione è composto da due giocatori, Smith (s) e Jones (j) , più la Natura.
La Natura sceglie all'inizio del gioco il tipo di Smith tra tre possibili tipi: A (probabilità 0.7), B (0.1), C(0.2).
Smith a sua volta deve scegliere tra "Large" (L) e "Small" (S).
Jones è a conoscenza delle probabilità con cui la Natura sceglie tra i vari tipi e non è in grado di discriminare in che stato informativo si trova.
Il seguente link dà un'immagine dell'albero che rappresenta il gioco con i payoffs nei nodi finali:
http://img392.imageshack.us/img392/5395/bayes.jpg
Durante lo svolgimento dell'esempio l'autore mostra che
$P(A|L)=(1*0.7)/((1*0.7)+(1*0.1)+(0*0.2))$
Fin qui tutto pacifico, poichè $\pi_s$, nel caso in cui ci si trovasse nel ramo in basso corrispondente al tipo A, sarebbe o $0$ o $1$.
Il problema per me sorge quando l'autore mostra i calcoli alla base di $P(A|S)$. Infatti
$P(A|S)=(0*0.7)/((0*0.7)+(0*0.1)+(1*0.2))$
Non sono certo di aver inteso il motivo per cui $P(S|A)$ e $P(S|B)$ siano uguali a $0$.
Mi sono dato una risposta da solo ma non sono completamente convinto.
Semplicemente, dati $A$ o $B$, $\pi_s$ è minore in ambo i casi se Smith sceglie $S$ al posto di $L$ (la sua EV è inferiore).
Tuttavia mi chiedo, la valutazione della sua EV non dipende dalla probabilita con cui Jones gioca la sua mossa, che a sua volta - causa Bayes - dipende dalla mossa di Smith e dalle probabilità revisionate ad essa associate? Non si genera una sorta di circolo vizioso? Da cui: come si calcola quindi l'EV che dovrebbe servire per decidere i valori di $P(x|A)$, $P(x|B)$e $P(x|A)$?
So che non è così altrimenti ci sarebbe un problema, ma non vedo perchè non debba essere così.
Deliri autunnali?
Ho sempre avuto qualche problema con l'applicazione della regola di Bayes e leggendo un libro di teoria dei giochi (non il solito Osborne...
) mi sono imbattuto nello svolgimento di un esercizio non completamente chiaro ai miei occhi.Il gioco in questione è composto da due giocatori, Smith (s) e Jones (j) , più la Natura.
La Natura sceglie all'inizio del gioco il tipo di Smith tra tre possibili tipi: A (probabilità 0.7), B (0.1), C(0.2).
Smith a sua volta deve scegliere tra "Large" (L) e "Small" (S).
Jones è a conoscenza delle probabilità con cui la Natura sceglie tra i vari tipi e non è in grado di discriminare in che stato informativo si trova.
Il seguente link dà un'immagine dell'albero che rappresenta il gioco con i payoffs nei nodi finali:
http://img392.imageshack.us/img392/5395/bayes.jpg
Durante lo svolgimento dell'esempio l'autore mostra che
$P(A|L)=(1*0.7)/((1*0.7)+(1*0.1)+(0*0.2))$
Fin qui tutto pacifico, poichè $\pi_s$, nel caso in cui ci si trovasse nel ramo in basso corrispondente al tipo A, sarebbe o $0$ o $1$.
Il problema per me sorge quando l'autore mostra i calcoli alla base di $P(A|S)$. Infatti
$P(A|S)=(0*0.7)/((0*0.7)+(0*0.1)+(1*0.2))$
Non sono certo di aver inteso il motivo per cui $P(S|A)$ e $P(S|B)$ siano uguali a $0$.
Mi sono dato una risposta da solo ma non sono completamente convinto.
Semplicemente, dati $A$ o $B$, $\pi_s$ è minore in ambo i casi se Smith sceglie $S$ al posto di $L$ (la sua EV è inferiore).
Tuttavia mi chiedo, la valutazione della sua EV non dipende dalla probabilita con cui Jones gioca la sua mossa, che a sua volta - causa Bayes - dipende dalla mossa di Smith e dalle probabilità revisionate ad essa associate? Non si genera una sorta di circolo vizioso? Da cui: come si calcola quindi l'EV che dovrebbe servire per decidere i valori di $P(x|A)$, $P(x|B)$e $P(x|A)$?
So che non è così altrimenti ci sarebbe un problema, ma non vedo perchè non debba essere così.
Deliri autunnali?
Risposte
"Luce Raiffa":
$P(A|L)=(1*0.7)/((1*0.7)*(1*0.1)*(0*0.2))$
$P(A|S)=(0*0.7)/((0*0.7)*(0*0.1)*(1*0.2))$
Sei certo che sia come hai scritto e non cosi' ?
$P(A|L)=(1*0.7)/((1*0.7)+(1*0.1)+(0*0.2)) = 7/8$
$P(A|S)=(0*0.7)/((0*0.7)+(0*0.1)+(1*0.2)) = 0$
Se è cosi come ho scritto, l'autore penso che ha ragionato cosi':
Smith sceglie "Large" per le condizioni A e B, e Jones lo segue anche lui con "Large" (così si spiega lo 0 del $P(A|S)$ )
Smith sceglie "Small" per la C, e Jones anche lui "small"
che ne pensi ?
Hai completamente ragione in merito alle somme: ero così impegnato a non fare fesserie con mathML con il primo utilizzo che ho perso di vista il contenuto delle formule... 
Quanto alla tua lettura, non credo Jones faccia parte del discorso. Intendo dire che Jones in effetti rivaluta le probabilità alla luce della scelta di Smith e la formula ci dice semplicemente come dovrebbe rivalutare (o meglio il risultato dell'analisi delle probabilità alla luce della scelta di Smith), tuttavia la formula non ci dice niente sulla scelta che Jones effettua.
Nel mio caso, il problema non è con lo $0$ finale, risultato di $P(A|S)$, ma con gli $0$ delle probabilità $P(S|A)$ e $P(S|B)$ che compaiono al denominatore. Infatti mi sembra normale che Smith escluda $P(L|C)$, poichè l'EV comparata con $P(L|A)$ e $P(L|B)$ è sempre inferiore, ma non vedo perche debba essere così per $P(S|A)$ e $P(S|B)$.
Quanto alla tua lettura, non credo Jones faccia parte del discorso. Intendo dire che Jones in effetti rivaluta le probabilità alla luce della scelta di Smith e la formula ci dice semplicemente come dovrebbe rivalutare (o meglio il risultato dell'analisi delle probabilità alla luce della scelta di Smith), tuttavia la formula non ci dice niente sulla scelta che Jones effettua.
Nel mio caso, il problema non è con lo $0$ finale, risultato di $P(A|S)$, ma con gli $0$ delle probabilità $P(S|A)$ e $P(S|B)$ che compaiono al denominatore. Infatti mi sembra normale che Smith escluda $P(L|C)$, poichè l'EV comparata con $P(L|A)$ e $P(L|B)$ è sempre inferiore, ma non vedo perche debba essere così per $P(S|A)$ e $P(S|B)$.
Una volta Serre ha scritto che le migliori idee matematiche gli veninvano a letto, prima di cadere tra le braccia di Morfeo.
Beh, non vincerò la medaglia Fields come Monsieur Jean-Paul ma almeno - appena avrò finito questo post - mi concederò il sonno dei giusti senza dubbi matematici.
Per prima cosa si deve partire dall'assunto che Smith gioca strategie pure. In più, infimo (!) particolare cui non avevo pensato prima di concedermi al materasso, $P(A|L)$ e $P(A|S)$ sono legati: da ciò e dal discorso delle strategie pure deriva che, laddove $P(L|A)=1$, $P(S|A)=0$. Posto ciò, è ovvio vedere perchè Smith si comporta in questo modo: basta vedere i payoff relativi.
Dubbio triviale risolto!
Adesso mi attende il cuscino: chissà che il prossimo passo non sia un'ideuzza per la risoluzione dell'ipotesi di Riemann...
Beh, non vincerò la medaglia Fields come Monsieur Jean-Paul ma almeno - appena avrò finito questo post - mi concederò il sonno dei giusti senza dubbi matematici.
Per prima cosa si deve partire dall'assunto che Smith gioca strategie pure. In più, infimo (!) particolare cui non avevo pensato prima di concedermi al materasso, $P(A|L)$ e $P(A|S)$ sono legati: da ciò e dal discorso delle strategie pure deriva che, laddove $P(L|A)=1$, $P(S|A)=0$. Posto ciò, è ovvio vedere perchè Smith si comporta in questo modo: basta vedere i payoff relativi.
Dubbio triviale risolto!
Adesso mi attende il cuscino: chissà che il prossimo passo non sia un'ideuzza per la risoluzione dell'ipotesi di Riemann...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
