Velocità quadratica media

[demebi]

Al crescere della velocità quadratica media delle molecole di un gas contenuto in un recipiente diminuisce in modo lineare la densitá del gas. Questa frase è falsa perchè?




Ho fatto un tentativo ma mi sono bloccata. All'aumentare della velocitá aumenta anche la temperatura e la densita è massa/volume. Ma non so come andare avanti.

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Come dovrebbe essere ben noto, l'energia cinetica di un corpo di massa

[math]m[/math]

e
velocità

[math]v[/math]

è pari a

[math]E_c = \frac{1}{2}m\,v^2[/math]

. Non è tutto. Per

[math]n[/math]

moli di un gas per-
fetto alla temperatura

[math]T[/math]

tale energia può essere scritta in quest'altro modo:

[math]E_c = \frac{3}{2}n\,R\,T[/math]

, dove

[math]R\\[/math]

è la costante universale dei gas.

Ebbene, non rimane che uguagliare tali quantità:

[math]\frac{1}{2}m\,v^2 = \frac{3}{2}n\,R\,T[/math]

,
semplificare:

[math]m\,v^2 = 3\,n\,R\,T[/math]

e dato che per i gas perfetti sappiamo
valere la relazione

[math]p\,V = n\,R\,T[/math]

possiamo scrivere

[math]m\,v^2 = 3\,p\,V\\[/math]

.

Siamo quasi al traguardo. Infatti, tale equazione equivale a quest'altra:

[math]\frac{m}{V} = \frac{3\,p}{v^2}[/math]

ossia, per definizione di densità,

[math]\rho = \frac{3\,p}{v^2}[/math]

. E' evidente
che la relazione non è del tipo

[math]\rho = m\,v + q[/math]

e quindi non può essere
lineare: a parità di pressione, all'aumentare della velocità la densità di-
minuisce ma NON linearmente.

Spero sia sufficientemente chiaro. ;)

[demebi]

Grazie ho capito :).