Quantità di moto
Due masse, una il triplo dell'altra, sono appese per mezzo di fili e si muovono con la stessa velocità v. Dimostrare che dopo il primo urto la massa piu grande si ferma e quella piu piccola rimbalza col doppio della velocità iniziale, e che dopo il secondo urto le due masse rimbalzano con la stessa velocità.
Tentata risoluzione. Conservazione della quantità di moto (elimino gia in partenza le masse)
Conservazione dell'energia cinetica (l'urto è perfettamente elastico, detto esplicitamente dal testo)
Aggiunto 9 minuti più tardi:
Sostituendo la v_2 alla prima equazione non ottengo quello che voglio...cioè v_2=0 e v_1=2v
Tentata risoluzione. Conservazione della quantità di moto (elimino gia in partenza le masse)
[math]v+3v=v_1+3v_2 \rightarrow 4v=v_1+3v_2[/math]
Conservazione dell'energia cinetica (l'urto è perfettamente elastico, detto esplicitamente dal testo)
[math]\frac{v^2}{2}+\frac{3}{2}v^2 = \frac{1}{2}v_1^2+\frac{3}{2}v_2^2 \rightarrow
\frac{3}{2}v_2^2=2v^2-\frac{1}{2}v_1^2\rightarrow v_2^2=\frac{4}{3}v^2-\frac{1}{3}v_1^2\rightarrow\\ v_2=\sqrt{\frac{4v^2-v_1^2}{3}}[/math]
\frac{3}{2}v_2^2=2v^2-\frac{1}{2}v_1^2\rightarrow v_2^2=\frac{4}{3}v^2-\frac{1}{3}v_1^2\rightarrow\\ v_2=\sqrt{\frac{4v^2-v_1^2}{3}}[/math]
Aggiunto 9 minuti più tardi:
Sostituendo la v_2 alla prima equazione non ottengo quello che voglio...cioè v_2=0 e v_1=2v
Risposte
Per la conservazione della quantità di moto come hai detto tu abbiamo:
Da cui:
Ti ricordo che questi sono vettori, pertanto si fa la somma per componenti (che tengono conto del segno, suppongo opposto, dato che la velocità è la stessa in modulo. Se così non fosse non ci sarebbe urto).
Abbiamo dunque:
Avremo quindi:
A questo punto se l'energia cinetica si conserva abbiamo che:
Eliminiamo 1/2 ed m:
Da prima ricavo:
Sostituisco:
Semplifico:
Raccogliendo:
Da cui:
Ricontrollo i calcoli perché non so se sono giusti.
[math]\vec{v}m+\vec{v}M=\vec{v_m}m+\vec{v_M}M[/math]
Da cui:
[math]\vec{v}+\vec{v}3=\vec{v_m}+\vec{v_M}3[/math]
Ti ricordo che questi sono vettori, pertanto si fa la somma per componenti (che tengono conto del segno, suppongo opposto, dato che la velocità è la stessa in modulo. Se così non fosse non ci sarebbe urto).
Abbiamo dunque:
[math]v-3v=v_m+3v_M[/math]
[math]v_m[/math]
e [math]v_M[/math]
le considero variabili intelligenti portatrici del segno che a priori non conosco. Avremo quindi:
[math]-2v=v_m+3v_M[/math]
A questo punto se l'energia cinetica si conserva abbiamo che:
[math]\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}3mv^2=\frac{1}{2}mv_m^2+\frac{1}{2}3mv_M^2[/math]
Eliminiamo 1/2 ed m:
[math]v^2+3v^2=v_m^2+3v_M^2[/math]
[math]4v^2=v_m^2+3v_M^2[/math]
Da prima ricavo:
[math]v_m=-2v-3v_M\\
\\
v_m^2=4v^2+9v_M^2+12v\cdot v_M
[/math]
\\
v_m^2=4v^2+9v_M^2+12v\cdot v_M
[/math]
Sostituisco:
[math]4v^2=4v^2+9v_M^2+12v\cdot v_M+3v_M^2[/math]
Semplifico:
[math]0=12v_M^2+12v\cdot v_M[/math]
[math]0=v_M^2+v\cdot v_M[/math]
Raccogliendo:
[math]v_M(v_M+v)=0[/math]
Da cui:
[math]v_M=0 \; V \; v_M=-v[/math]
Ricontrollo i calcoli perché non so se sono giusti.
in risposta al thread sull'impulso (scusate s einvado questo spazio ma di là non posso più scrivere)
in primo luogo mi permetto di fare un'osservazione: se ho mosso una critica non l'ho fatto con l'intento di attaccarti, ma di indirizzarti sul percorso corretto (al momento devo ancora trovare chi non sbaglia mai). in più, tutta la roba che ho detto, dal momento che sta anche sui libri, penso serva.
quello che hai fatto è sbagliato dal punto di vista teorico, perchè sei partito da ipotesi non corrette per ottenere la formula di risoluzione. spero potrai consultarti con qualche docente visto che sei ancora convinto di sostenere una tesi valida nonostante io l'abbia confutata (la mia domanda è rimasta in sospeso). incidentalmente, se la funzione massa fosse stata quadratica (per dirne una) la tua soluzione non poteva andare bene. sono comunque disposto a ricredermi nel momento in cui mi farai vedere che ricavi quella cosa in maniera ragionevole.
la soluzione corretta è questa: ammesso che la massa sia una funzione lineare rispetto al tempo (il problema comunque non lo dice), possiamo esprimerla come M(t) = (10/12)*t. per verificare l'esattezza di questo, puoi constatare che al tempo t=12s la massa dell'acqua nel secchio è proprio 10kg. la forza di caduta è data dall'espressione (dimostrabile):
in cui v_rel indica la velocità relativa dell'acqua che cade nel secchio, rispetto al secchio stesso.
derivando M(t) ottieni una costante, per la precisione proprio la Q di prima. conoscendo F ricavi v_rel
the.track
Per quanto riguarda il problema 1 non ti preoccupare che la soluzione che ti ho dato è giusta. In realtà fare tutta la roba che ha fatto xico87 non serve. Se vuoi ti mostro i passaggini e le considerazioni da fare. Ma non è nulla di che. Se xico pensa che sia ancora sbagliato lo invito a risolvere pienamente l'esercizio.
in primo luogo mi permetto di fare un'osservazione: se ho mosso una critica non l'ho fatto con l'intento di attaccarti, ma di indirizzarti sul percorso corretto (al momento devo ancora trovare chi non sbaglia mai). in più, tutta la roba che ho detto, dal momento che sta anche sui libri, penso serva.
quello che hai fatto è sbagliato dal punto di vista teorico, perchè sei partito da ipotesi non corrette per ottenere la formula di risoluzione. spero potrai consultarti con qualche docente visto che sei ancora convinto di sostenere una tesi valida nonostante io l'abbia confutata (la mia domanda è rimasta in sospeso). incidentalmente, se la funzione massa fosse stata quadratica (per dirne una) la tua soluzione non poteva andare bene. sono comunque disposto a ricredermi nel momento in cui mi farai vedere che ricavi quella cosa in maniera ragionevole.
la soluzione corretta è questa: ammesso che la massa sia una funzione lineare rispetto al tempo (il problema comunque non lo dice), possiamo esprimerla come M(t) = (10/12)*t. per verificare l'esattezza di questo, puoi constatare che al tempo t=12s la massa dell'acqua nel secchio è proprio 10kg. la forza di caduta è data dall'espressione (dimostrabile):
[math] F = v_{rel}\frac{dM(t)}{dt} [/math]
in cui v_rel indica la velocità relativa dell'acqua che cade nel secchio, rispetto al secchio stesso.
derivando M(t) ottieni una costante, per la precisione proprio la Q di prima. conoscendo F ricavi v_rel
Cristo santo Enrico è quello che ti dico dall'inizio. Dimmi dove hai usato integrali adesso.
[math] M(t)v = Ft \Rightarrow F = \frac{M(t)v}{t}[/math]
è diverso da
[math] F = vM'(t) [/math]
forse sopra non hai letto bene il mio post quando ti ho suggerito di prendere una quadratica: prendi M(t) = t^2. allora nel mio caso F = v*2t, nel tuo F = tv.
ho usato gli integrali nei post precedenti per farti capire come mai sbagliassi. per dimostrare la formula corretta si usa il calcolo differenziale (sostanzialmente limiti).
Si ok guarda. Hai ragione così sei contento. :)
non condivido le tue maniere "sarcastiche", ho solo cercato di convincerti del perchè la tua soluzione sia sbagliata (e perchè esca un risultato numerico corretto, nonostante tutto).
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