Prodotto scalare,prodotto vettoriale con i versori + parametri

[LittleArtist001]

Ciao a tutti,faccio il 2 anno di liceo scientifico e ho un esercizio che non riesco a svolgere,così chiedo a voi un aiuto.
Si tratta di un esercizio con i versori (i,j,k) e ci sono dei parametri (a,b)

Dati i vettori u,v,w:

mi sa però che il vettore w non c'entra niente e quindi il professore si sia sbagliato
u= 1 i + aj + 3 bk
v=2 ai + 2 bj + k
w= -i -j +k

determinare una coppia di valori dei parametri affinché:
1) u e v siano paralleli
2) u e v siano perpendicolari

RICORDA:

u//v u x v =0 (prodotto vettoriale nullo)
u perpendicolare v u * v =0 (prodotto scalare nullo)

Ultima domanda.
Per risolvere questi esercizi devo sapere l'argomento "i sistemi di equazioni" di matematica? Perché ancora non li ho fatti (siamo indietro con il programma) e casomai li studio da sola perché non ho idea di come potrei risolvere questo esercizio!

Grazie in anticipo!!

[the.track]

1) Temo tu debba saper risolvere i sistemi di equazioni altrimenti credo al massimo tu posso solo impostare la risoluzione. Passando ai fatti vediamo come procedere. Come hai ben detto affinché due vettori siano paralleli deve verificarsi che il loro prodotto vettoriale è nullo, pertanto:

[math]u\times v=0[/math]

Quindi, chiamando z il vettore risultante, avremo:

[math]\vec{z}=(a-6b^2) \vec{i}+(6ab-1)\vec{j}+(2b-2a^2)\vec{k}[/math]

Affinché sia nullo devi avere che siano nulle tutte le componenti, pertanto avrai un sistema di equazioni del tipo:

[math]\begin{case}
a-6b^2=0\\
6ab-1=0\\
2b-2a^2=0
\end{case}[/math]

Che a occhio direi che non dà soluzioni possibili.

2) La condizione di perpendicolarità è data dall'annullarsi del prodotto scalare, quindi:

[math]z=u\cdot v =0[/math]

[math]z=2a+2ab+3b=0[/math]

Di soluzioni ora ne hai in numero infinito, avendo 2 parametri e una sola equazione.