Prodotto scalare e prodotto vettoriale
Raga potrete spiegarmi un pò il prodotto vettoriale e scalare e come e quando devono essere utilizzati.
Grazie in anticipo :D
Titolo non regolamentare modificato da moderatore.
Grazie in anticipo :D
Titolo non regolamentare modificato da moderatore.
Risposte
dati 2 vettori
1) il loro prodotto scalare
dove
il prodotto scalare è un numero relativo : se l'angolo tra
se l'angolo è ottuso,
se l'angolo è retto,
2)il loro prodotto vettoriale
il suo verso è dato dalla regola della mano destra : disponendo il pollice della mano destra nel verso di
il modulo del prodotto vettoriale è dato da una delle 2 formule
dove
[math]\vec a[/math]
e[math]\vec b[/math]
, 1) il loro prodotto scalare
[math]s=\vec a · \vec b[/math]
è dato da una delle due formule[math]s=a_1b=ab_1[/math]
dove
[math]a_1[/math]
e [math]b_1[/math]
sono rispettivamente il modulo(con segno)delle proiezioni di [math]\vec a[/math]
e[math]\vec b[/math]
nella direzione dell'altro vettoreil prodotto scalare è un numero relativo : se l'angolo tra
[math]\vec a[/math]
e [math]\vec b[/math]
è acuto,[math]\vec a_1[/math]
e[math]\vec b[/math]
(oppure[math]\vec a[/math]
e[math]\vec b_1[/math]
)hanno lo stesso verso ed [math]s[/math]
è positivose l'angolo è ottuso,
[math]s[/math]
è negativose l'angolo è retto,
[math]s=0[/math]
2)il loro prodotto vettoriale
[math]\vec p= \vec a \times \vec b[/math]
è un vettore che,per definizione,ha direzione perpendicolare al piano che contiene [math]\vec a[/math]
e[math]\vec b[/math]
il suo verso è dato dalla regola della mano destra : disponendo il pollice della mano destra nel verso di
[math]\vec a[/math]
e le altre dita in quello di[math]\vec b[/math]
, il verso di [math]\vec p[/math]
esce dal palmo della manoil modulo del prodotto vettoriale è dato da una delle 2 formule
[math]p=a_2 b=ab_2[/math]
dove
[math]a_2[/math]
e[math]b_2[/math]
sono rispettivamente i moduli delle proiezioni di [math]\vec a[/math]
e[math]\vec b[/math]
nella direzione perpendicolare all'altro vettore
E' una domanda un po' ampia, ma dato che è fatta da un liceale nella sezione
di fisica posso tentare di riassumerti i concetti principali in poche righe.
Siano dati, preliminarmente, due vettori
e sia
1. Il prodotto scalare tra
ossia "trasforma" due vettori in uno scalare (giustificazione del proprio nome).
In geometria, quando tale prodotto è nullo implica che l'angolo compreso tra i
due vettori è pari a 90° e quindi
è usato nei contesti in cui si debba calcolare la proiezione di un vettore lungo
una determinata componente. Ad esempio, il lavoro
2. Il prodotto vettoriale tra
ossia "trasforma" due vettori in un vettore (giustificazione del proprio nome), di
direzione parallela al versore normale
e di verso indicato dalla "regola della mano destra".
In geometria, quando tale prodotto è nullo implica che l'angolo compreso tra i due
vettori è pari a 0° o 180° e quindi
si incontra, ad esempio, quando si studia l'elettromagnetismo. In particolare, data
una carica elettrica puntiforme
caratterizzata dalla presenza di un campo elettrico
magnetica
elettromagnetico e la carica è data da
Naturalmente questa è la sintesi estrema in quanto ce ne sarebbe da dire
sia a livello teorico che applicativo. Ma per quello che incontrerai negli studi
liceali credo sia più che esaustivo ;)
di fisica posso tentare di riassumerti i concetti principali in poche righe.
Siano dati, preliminarmente, due vettori
[math]\vec{a}=(a_1,\,a_2,\,a_3)[/math]
di lunghezza [math]\left|\vec{a}\right|:=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\\[/math]
;[math]\vec{b}=(b_1,\,b_2,\,b_3)[/math]
di lunghezza [math]\left|\vec{b}\right|:=\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}[/math]
;e sia
[math]\theta[/math]
l'angolo compreso tra [math]\vec{a}[/math]
e [math]\vec{b}[/math]
.1. Il prodotto scalare tra
[math]\vec{a}[/math]
e [math]\vec{b}[/math]
è definito come [math]\vec{a}\cdot\vec{b}:=\left|\vec{a}\right|\,\left|\vec{b}\right|\cos\theta[/math]
,ossia "trasforma" due vettori in uno scalare (giustificazione del proprio nome).
In geometria, quando tale prodotto è nullo implica che l'angolo compreso tra i
due vettori è pari a 90° e quindi
[math]\vec{a}[/math]
e [math]\vec{b}[/math]
sono ortogonali. In fisica, tale prodotto è usato nei contesti in cui si debba calcolare la proiezione di un vettore lungo
una determinata componente. Ad esempio, il lavoro
[math]L[/math]
prodotto da una forza [math]\vec{F}[/math]
su un corpo che si sposta in direzione [math]\vec{u}[/math]
è definito come [math]L:=\vec{F}\cdot\vec{u}\\[/math]
.2. Il prodotto vettoriale tra
[math]\vec{a}[/math]
e [math]\vec{b}[/math]
è definito come [math]\vec{a}\times\vec{b}:=\hat{n}\;\left|\vec{a}\right|\,\left|\vec{b}\right|\sin\theta[/math]
,ossia "trasforma" due vettori in un vettore (giustificazione del proprio nome), di
direzione parallela al versore normale
[math]\hat{n}[/math]
del piano in cui giacciono [math]\vec{a}[/math]
e [math]\vec{b}[/math]
, e di verso indicato dalla "regola della mano destra".
In geometria, quando tale prodotto è nullo implica che l'angolo compreso tra i due
vettori è pari a 0° o 180° e quindi
[math]\vec{a}[/math]
e [math]\vec{b}[/math]
sono paralleli. In fisica, tale prodotto lo si incontra, ad esempio, quando si studia l'elettromagnetismo. In particolare, data
una carica elettrica puntiforme
[math]q[/math]
in moto con velocità istantanea [math]\vec{v}[/math]
in una regione caratterizzata dalla presenza di un campo elettrico
[math]\vec{E}[/math]
ed un campo di induzione magnetica
[math]\vec{B}[/math]
, la forza [math]\vec{F}[/math]
(detta forza di Lorentz) che si esercita tra il campo elettromagnetico e la carica è data da
[math]\vec{F}=q\,\left(\vec{E}+\vec{v}\land\vec{B}\right)\\[/math]
(cit. Wikipedia).Naturalmente questa è la sintesi estrema in quanto ce ne sarebbe da dire
sia a livello teorico che applicativo. Ma per quello che incontrerai negli studi
liceali credo sia più che esaustivo ;)
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