Problema sull'urto completamente anelastico
Buonasera a tutti,
qualcuno potrebbe per cortesia aiutarmi a svolgere questo problema?
Per fissare una tenda un campeggiatore vuole piantare nel terreno un picchetto, di massa 2kg, con un martello di 4kg. Per verificare la friabilità del terreno, egli solleva il martello all'altezza di 1m sopra il picchetto e lascia cadere il primo colpo senza fare forza sul martello, cosicché questo colpisce il picchetto con velocità acquistata per effetto del suo peso. L'urto è completamente anelastico e il picchetto penetra nel terreno di 2cm. Determina l'intensità della forza resistente che il terreno esercita sul picchetto, supponendola costante, e la percentuale di energia meccanica dissipata nell'urto.
So che il problema è già stato posto sul forum, ma la spiegazione non mi era molto chiara anche perché questo argomento non lo abbiamo trattato a scuola. Comunque ho cercato di svolgerlo:
Ho calcolato il tempo radice quadrata di 2s1/g, radice quadrata di 2s2/g;
ho calcolato le due velocità s/t e, applicato m1v1 +m2v2=v(m1+m2)... Sapreste dirmi gentilmente la corretta procedura? Cosa si intende per forza resistente del terreno?
Grazie mille :)
qualcuno potrebbe per cortesia aiutarmi a svolgere questo problema?
Per fissare una tenda un campeggiatore vuole piantare nel terreno un picchetto, di massa 2kg, con un martello di 4kg. Per verificare la friabilità del terreno, egli solleva il martello all'altezza di 1m sopra il picchetto e lascia cadere il primo colpo senza fare forza sul martello, cosicché questo colpisce il picchetto con velocità acquistata per effetto del suo peso. L'urto è completamente anelastico e il picchetto penetra nel terreno di 2cm. Determina l'intensità della forza resistente che il terreno esercita sul picchetto, supponendola costante, e la percentuale di energia meccanica dissipata nell'urto.
So che il problema è già stato posto sul forum, ma la spiegazione non mi era molto chiara anche perché questo argomento non lo abbiamo trattato a scuola. Comunque ho cercato di svolgerlo:
Ho calcolato il tempo radice quadrata di 2s1/g, radice quadrata di 2s2/g;
ho calcolato le due velocità s/t e, applicato m1v1 +m2v2=v(m1+m2)... Sapreste dirmi gentilmente la corretta procedura? Cosa si intende per forza resistente del terreno?
Grazie mille :)
Risposte
Diciamo che la risposta fornita 5 anni fa più che altro è un ammasso di
formulette che seppur corrette senza giustificazione non significano nulla.
Dunque, inizialmente abbiamo un corpo (il martello) di massa
in questi casi l'attrito con l'aria è trascurabile. Ne segue che il moto è uniformemente
accelerato con accelerazione
percorrere verticalmente uno spazio lungo h? Facendo riferimento alla legge oraria
dello spazio con
che velocità avrà acquisito in tale lasso di tempo? Facendo riferimento alla legge
oraria della velocità si ha
dire, nell'altra risposta questa formuletta è stata calata dall'alto, dunque è stata fornita
senza giustificazione; morale: nemmeno metà punti in una verifica).
Una volta percorsa quella distanza verticalmente e quindi avendo acquisito la velocità
appena calcolata, il martello impatta con un picchetto di massa
momento poggiava con la punta sul terreno. Importantissimo è sapere come è quel-
l'impatto: ci viene detto che si tratta di un urto perfettamente anelastico, ossia di un
urto in cui non si conserva l'energia (purtroppo ci sono grandi dissipazioni; ad esempio,
hai mai preso in mano un chiodo appena battuto? certamente è molto caldo e il calore
non è altro che energia dissipata dall'urto, purtroppo molte volta "persa" ) e inoltre che
i due corpi dopo l'urto rimangono appiccicati tal punto da poterli considerare come un
unico corpo di massa
Alla luce di tali considerazioni, si ha la conservazione della quantità di moto del
sistema martello-picchetto, ossia:
questo caso
prima dell'urto è fermo. Risolvendo tale equazione si ottiene
Ora, nota la velocità è facilmente calcolabile l'energia cinetica del sistema martello-
picchetto tramite definizione:
Ultimo step: ricordare il teorema del lavoro e dell'energia cinetica (sempre valido)
secondo cui la variazione dell'energia cinetica è uguale al lavoro totale fatto dalla forze.
In questo caso, l'energia cinetica iniziale l'abbiamo appena calcolata, quella finale
sappiamo essere nulla perché il sistema martello-picchetto si ferma (velocità nulla
implica energia cinetica nulla) mentre la forze che compiono lavoro su tale sistema
sono esclusivamente quelle di attrito del terreno che per definizione sono pari a
dove
del problema. Ebbene, applicando tale teorema, si ha
banalmente, segue che
Infine, per rispondere al secondo quesito, è sufficiente aver presente che l'energia
dissipata è essenzialmente pari alla differenza dell'energia cinetica un istante prima
dell'urto, ossia quella del martello:
dopo l'urto, ossia quella del sistema martello-picchetto calcolata sopra:
Dunque, la percentuale di energia dissipata nell'urto è pari a
Se vi fossero punti poco chiari chiedi pure. ;)
formulette che seppur corrette senza giustificazione non significano nulla.
Dunque, inizialmente abbiamo un corpo (il martello) di massa
[math]m_1[/math]
in caduta libera:in questi casi l'attrito con l'aria è trascurabile. Ne segue che il moto è uniformemente
accelerato con accelerazione
[math]a = g[/math]
. Ci chiediamo: quanto tempo impiegherà a percorrere verticalmente uno spazio lungo h? Facendo riferimento alla legge oraria
dello spazio con
[math]s_0 = v_0 = 0[/math]
si ha [math]h = \frac{1}{2}g\,t^2[/math]
da cui [math]t = \sqrt{\frac{2\,h}{g}}[/math]
. Ora,che velocità avrà acquisito in tale lasso di tempo? Facendo riferimento alla legge
oraria della velocità si ha
[math]v_1 = g\,\sqrt{\frac{2\,h}{g}}[/math]
da cui [math]v_1 = \sqrt{2\,g\,h}[/math]
. (Tanto per dire, nell'altra risposta questa formuletta è stata calata dall'alto, dunque è stata fornita
senza giustificazione; morale: nemmeno metà punti in una verifica).
Una volta percorsa quella distanza verticalmente e quindi avendo acquisito la velocità
appena calcolata, il martello impatta con un picchetto di massa
[math]m_2[/math]
che fino a quel momento poggiava con la punta sul terreno. Importantissimo è sapere come è quel-
l'impatto: ci viene detto che si tratta di un urto perfettamente anelastico, ossia di un
urto in cui non si conserva l'energia (purtroppo ci sono grandi dissipazioni; ad esempio,
hai mai preso in mano un chiodo appena battuto? certamente è molto caldo e il calore
non è altro che energia dissipata dall'urto, purtroppo molte volta "persa" ) e inoltre che
i due corpi dopo l'urto rimangono appiccicati tal punto da poterli considerare come un
unico corpo di massa
[math]m_1 + m_2\\[/math]
. Alla luce di tali considerazioni, si ha la conservazione della quantità di moto del
sistema martello-picchetto, ossia:
[math]m_1\,v_1 + m_2\,v_2 = (m_1 + m_2)\,v[/math]
, dove in questo caso
[math]v_1[/math]
l'abbiamo calcolata sopra, mentre [math]v_2 = 0[/math]
perché il picchetto prima dell'urto è fermo. Risolvendo tale equazione si ottiene
[math]v = \frac{m_1}{m_1 + m_2}v_1\\[/math]
.Ora, nota la velocità è facilmente calcolabile l'energia cinetica del sistema martello-
picchetto tramite definizione:
[math]\small E_k = \frac{1}{2}(m_1 + m_2)\left(\frac{m_1}{m_1 + m_2}v_1\right)^2 = \frac{(m_1\,v_1)^2}{2\,(m_1 + m_2)}\\[/math]
.Ultimo step: ricordare il teorema del lavoro e dell'energia cinetica (sempre valido)
secondo cui la variazione dell'energia cinetica è uguale al lavoro totale fatto dalla forze.
In questo caso, l'energia cinetica iniziale l'abbiamo appena calcolata, quella finale
sappiamo essere nulla perché il sistema martello-picchetto si ferma (velocità nulla
implica energia cinetica nulla) mentre la forze che compiono lavoro su tale sistema
sono esclusivamente quelle di attrito del terreno che per definizione sono pari a
[math]F\,s[/math]
, dove
[math]s[/math]
è l'affondo nel terreno del sistema martello-picchetto che è presente nei dati del problema. Ebbene, applicando tale teorema, si ha
[math]\frac{(m_1\,v_1)^2}{2\,(m_1 + m_2)} = F\,s[/math]
da cui, banalmente, segue che
[math]F = \frac{(m_1\,v_1)^2}{2\,s\,(m_1 + m_2)}\\[/math]
(primo quesito del problema).Infine, per rispondere al secondo quesito, è sufficiente aver presente che l'energia
dissipata è essenzialmente pari alla differenza dell'energia cinetica un istante prima
dell'urto, ossia quella del martello:
[math]E_k^1 = \frac{1}{2}m\,v_1^2[/math]
, e l'energia cinetica un istante dopo l'urto, ossia quella del sistema martello-picchetto calcolata sopra:
[math]E_k^2 = \frac{(m_1\,v_1)^2}{2\,(m_1 + m_2)}[/math]
. Dunque, la percentuale di energia dissipata nell'urto è pari a
[math]\left(1 - \frac{E_k^2}{E_k^1}\right)\cdot 100\%[/math]
.Se vi fossero punti poco chiari chiedi pure. ;)
Scusa ti disturbo ancora. Si può arrotondare il valore della forza resistente 1302,4166667 a 1,4x 10^3? Il valore in percentuale si può calcolare in altri modi? Potresti cortesemente spiegarmi la formula? Scusa per questa domanda da scuola elementare e per l'ignoranza ma vorrei avere le idee chiare.
Grazie mille per l'aiuto:)
Grazie mille per l'aiuto:)
Dunque, il risultato riportato dal libro per la forza di attrito del terreno non è
del tutto corretto. Infatti, senza approssimare negli steps intermedi, si ottiene
Per quanto riguarda la percentuale di energia dissipata, tutto ruota attorno
alla seguente proporzione:
centuale risulta pari a
Ora ti pare un po' più chiaro? :)
del tutto corretto. Infatti, senza approssimare negli steps intermedi, si ottiene
[math]F\approx 1308\,N \approx 1.3\cdot 10^3\,N\\[/math]
.Per quanto riguarda la percentuale di energia dissipata, tutto ruota attorno
alla seguente proporzione:
[math]E_k^1 : 100\% = \left(E_k^1 - E_k^2\right) : x[/math]
, da cui [math]x = \frac{E_k^1 - E_k^2}{E_k^1}\cdot 100\% = \left(1 - \frac{E_k^2}{E_k^1}\right)\cdot 100\%[/math]
. A conti fatti, tale per-centuale risulta pari a
[math]\frac{100}{3}\%\\[/math]
.Ora ti pare un po' più chiaro? :)
Sì grazie mille per l'aiuto e per il tempo! Scusami per le troppe domande
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