Problema moto parabolico...Aiuto!:)

[fabios92]

Una freccia viene scoccata da un arco per colpire un bersaglio circolare (paglione) posto in verticale ad una distanza di 20m. Sia H = 2m l’altezza del centro del paglione dal suolo. Se la freccia viene scoccata con inclinazione =10° rispetto al piano orizzontale da un’altezza dal suolo di 1.7m e l’attrito offerto dall’aria è trascurabile, determinare
a. la velocità di lancio per colpire esattamente il centro del bersaglio
b. il tempo necessario al dardo per raggiungere il bersaglio
c. l’angolo formato dalla freccia con la direzione normale del bersaglio nel punto di arrivo
d. l’energia potenziale massima raggiunta dal dardo

Mi sapreste aiutare a risolvere questo problema...Magari se è possibile anche un piccolo grafico!

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Fissato un sistema di riferimento cartesiano

[math](x,\,y)[/math]

con l'asse delle

[math]y[/math]

orientato
verso l'alto e trascurando la resistenza dell'aria, le equazioni del moto sono

[math]\begin{cases} \ddot{x}(t)=0 \\ \ddot{y}(t) = - g \end{cases}\\[/math]

che integrate una prima volta porgono

[math]\begin{cases} \dot{x}(t)=c_1 \\ \dot{y}(t) = - g\,t+c_3 \end{cases}\\[/math]

e integrate una seconda volta forniscono la "famosa" legge oraria

[math]\begin{cases} x(t)=c_1\,t+c_2 \\ y(t) = - \frac{1}{2}g\,t^2+c_3\,t+c_4 \end{cases}\\[/math]

la quale può essere "specializzata" imponendo le condizioni iniziali

[math]\begin{cases} x(0)=0 \\ \dot{x}(0)=v_0\cos\theta \\ y(0)=y_0 \\ \dot{y}(0)=v_0\sin\theta \end{cases}\\[/math]

ottenendo, in definitiva, il seguente sistema di equazioni temporali

[math]\begin{cases} x(t) = v_0\cos\theta\,t \\ y(t) = -\frac{1}{2}g\,t^2+v_0\sin\theta\,t+y_0 \end{cases} \; .\\[/math]

a. Ricaviamo l'equazione della traiettoria di tale moto esplicitando
il tempo della prima equazione e sostituendolo nella seconda:

[math]y(x)=-\frac{1}{2}g\frac{1}{v_0^2\cos^2\theta}x^2+\tan\theta\,x+y_0[/math]

quindi imponiamo
il passaggio per il centro del bersaglio di coordinate

[math](20,\,2)[/math]

ottenendo:

[math]v_0=\sqrt{\frac{20^2\cdot 9.81}{2\cdot\cos^2 10°\left(20\,\tan10°-0.3\right)}}\approx 25\,\frac{m}{s}\,.[/math]

Naturalmente, qualora
servissero le componenti di tale vettore è sufficiente moltiplicare tale valore
rispettivamente per il coseno e il seno dell'angolo di alzata.


b. Sfruttiamo, ad esempio, la prima equazione temporale imponendo

[math]20=25\,\cos 10°\,t \; \; \Leftrightarrow \; \; t = \frac{20}{25\,\cos 10°}\approx 0.8 \, s \, .\\[/math]

c. L'angolo con cui la freccia colpisce il bersaglio è pari a

[math]\phi=\arctan\left(\frac{\left|\dot{y}(0.8 )\right|}{\left|\dot{x}(0.8 )\right|}\right)=\arctan\left(\frac{\left|- 9.81\cdot 0.8 + 25\cdot\sin 10° \right|}{\left|25\cdot \cos 10°\right|}\right)\approx 8.3°\,.[/math]

d. Per calcolare l'energia potenziale massima della freccia è sufficiente applicare
il principio di conservazione dell'energia tra il punto di partenza e quello di arrivo,
ottenendo

[math]\Delta E_P = \Delta E_K = \frac{m}{2}\left(v_0^2-\dot{x}^2(0.8 )-\dot{y}^2(0.8 )\right)\approx 3m\,J\,, \\[/math]

dove

[math]m[/math]

è la massa della freccia espressa in chilogrammi.


Spero sia chiaro ;)