Problema moto parabolico

[DarkIchigo]

Problema:
Un proiettile è sparato da terra lungo una traiettoria parabolica. Nel punto più alto della traiettoria, il proiettile si trova ad una distanza orizzontale di 300 m dal punto di sparo. A che distanza orizzontale dal punto di lancio dovrà cadere?


Non riesco a capire come determinare tale distanza perché non dice la velocità iniziale e neanche l'angolo con cui è sparato il proiettile, devo fare qualche operazione con quei 300 m visto che li raggiunge nel punto più alto oppure rimane un problema parametrico?

Io ho provato a risolverlo imponendo

[math]V_x = |V_0|cos(θ)[/math]

e

[math]V_y = |V_0|sen(θ)[/math]

, dopodiché ho trovato l'equazione del moto (tramite gli integrali) che è

[math]y = \frac{sen(θ)}{cos(θ)}x - \frac{1}{2} \frac {g}{|V_0|^2cos^2(θ)}x^2[/math]

Mettendo tale equazione a sistema con

[math]y = 0[/math]

trovo il punto di intersezione

[math]x = \frac{|V_0|^2 sen(2θ)}{9,8}[/math]

che dovrebbe essere appunto la distanza richiesta... il fatto è che mi pare strano che venga così, altrimenti quei 300 m che ci sono a fare?

Grazie per eventuali risposte.

[Studente Anonimo]

Il problema del moto parabolico, se si trascura l'attrito
dell'aria, è facilmente schematizzabile nel modo seguente:

Nel caso specifico, dato che

[math]x_0 = y_0 = 0[/math]

, non credo sia difficile
convincersi del fatto che, nell'istante in cui il proiettile si trova nel
vertice della parabola, orizzontalmente abbia percorso esattamente
metà gittata. Dato che tale distanza la conosciamo e la richiesta è il
calcolo della gittata, banalmente segue che

[math]G = 2\cdot 300 = 600\, m\\[/math]

.

Se uno non ci crede basta che faccia affidamento alle leggi orarie di cui sopra.
Infatti, imponendo che

[math]300 = 0 + v_{0x}\,t_m[/math]

segue che

[math]t_m = \frac{300}{v_{0x}}[/math]

, mentre
imponendo che

[math]0 = v_{0y} - g\,t_m[/math]

segue che

[math]v_{0y} = g\,t_m = \frac{300}{v_{0x}}g[/math]

. Dunque,
dovendo essere

[math]0 = 0 + v_{0y}\,t_f - \frac{1}{2}g\,t_f^2[/math]

segue che

[math]t_f = \frac{2\,v_{0y}}{g}[/math]

(avendo
scartato la soluzione banale

[math]t=0[/math]

). Siamo al traguardo, in quanto si ha:

[math]G = 0 + v_{0x}\,t_f = v_{0x}\frac{2\,v_{0y}}{g} = v_{0x}\frac{2\frac{300}{v_{0x}}g}{g} = 600\,m\\[/math]

.

Spero sia sufficientemente chiaro. ;)

[DarkIchigo]

Cavolo è vero, come ho fatto a non pensarci! Grazie mille davvero!