Problema dinamica corpi rigidi!!

[melizz]

Ciao! Il testo del problema è il seguente:
Un’asta omogenea di massa M=1 kg e lunghezza l=60 cm, appesa in
quiete in un piano verticale a un estremo viene colpita all’altro estremo da un proiettile di massa m=40 g che incide orizzontalmente con velocità v = 40 m/s attraversandolo e fuoriuscendo con velocità v’ = 10 m/s.Calcolare:
a) la massima ampiezza di oscillazione dell’asta, b) l’energia dissipata nella perforazione.

Ho provato a risolverlo applicando la conservazione del momento angolare e ho trovato una velocità angolare di 6 rad/s. Dopodiché ho applicato la conservazione dell'ernergia meccanica (1/2 I W^2 = M g h), il problema che trovo è che non so quale sia la relazione tra l'altezza e l'angolo che l'asta forma oscillando. Ve ne sarei grata se mi spiegaste come si fa!:) grazie!!

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

a) Trattandosi di un urto con conseguenze rotatorie in un sistema isolato,
applichiamo il principio di conservazione del momento angolare:

[math]m\,v\,l = \frac{1}{3}\,M\,l^2\,\omega + m\,v'\,l\\[/math]

dove

[math]\omega\\[/math]

è la velocità angolare con cui si muove l'asta subito dopo l'urto:

[math]\omega = \frac{3\,m\,(v - v')}{M\,l} = 6\,\frac{\text{rad}}{s} \; . \\[/math]

L'energia cinetica iniziale dell'asta si trasforma completamente
in energia potenziale nella posizione di massima oscillazione:

[math]\frac{1}{2}\,I_O\,\omega^2 = M\,g\,\frac{l}{2}(1 - \cos\alpha) \; \; \Leftrightarrow \; \; \alpha = 74°\,34'\,13'' \; ,\\[/math]

dove per un'asta omogenea si ha

[math]I_O = \frac{1}{3}\,M\,l^2\\[/math]

.

b) L'energia dissipata nella perforazione è la differenza tra l'energia cinetica
iniziale del proiettile e la somma delle due energie cinetiche dell'asta e del
proiettile subito dopo l'urto:

[math]E_d = \frac{1}{2}\left(m\,v^2 - I_O\,\omega^2 - m\,{v'}^2\right) = 27.84\,J \; .\\[/math]

Tutto qui. ;)