Problema di statica, forze

[GregoriusNovus]

Salve, sono alle prese con questo problema, ma non riesco bene a capire come risolverlo, confrontandomi poi con la soluzione mi confondo ancora di più...

Mi sapete dire come ragionare per venirne a capo?
Grazie


Una lampada da esterni, di peso P, è fissata alla parete mediante tre aste di lunghezza uguale a = 60 cm. Due aste sono fissate orizzontalmente al muro alla stessa, nei punti A e B posti a distanza a, la terza è fissata agli estremi liberi delle altre due e al muro, in un punto D che dista a/2 dal punto medio O di AB.
Supponendo che il peso delle aste sia trascurabile rispetto a quello della lampada, scomponi il peso della lampada nelle direzioni dei tre sostegni e determina le forze che agiscono sul punto C in cui è sospesa la lampada.

Soluzione:

Il peso P verticalmente verso la lampada; 2P lungo l'asta fissata in D e verso il punto di sospensione; P lungo ognuna delle altre due aste, verso la parete.

[ingres]

Le forze esercitate dalle aste devono essere nella stessa direzione delle aste stesse (altrimenti ruoterebbero). Questo significa che l'unica asta in grado di fornire una componente verticale è l'asta in D.

Poiché la lampada è in equilibrio, la componente verticale del peso, che vale P, deve essere compensata dalla componente verticale della forza lungo l'asta fissata in D.
A questo punto dalla geometria si può ricavare la forza totale lungo l'asta fissata in D e quindi anche la componente orizzontale dovuta a tale asta.

Questa componente deve essere uguagliata dalla somma vettoriale delle aste fissate in A e B, che per motivi di simmetria avranno lo stesso valore in modulo.
Questo permette di elidere le componenti parallele ad AB e sommare invece le componenti dirette lungo OC, compensando perfettamente la componente orizzontale dell'asta in D e consentendo così di risolvere completamente il problema.

[GregoriusNovus]

Grazie per la dritta, la seguo ma ancora c’è qualcosa che non mi torna, ecco come ho fatto:

Dalla geometria posso ricavare che la componente del peso lungo l’asta DC è pari a 2P, perché l’angolo è di 60°.

Quindi questa forza vincolare 2P lungo l’asta DC si scompone in:
- verticale: P, la forza peso della lampada
- orizzontale:

[math]\sqrt3P[/math]

(il coseno di 30°)

A questo punto la componente orizzontale

[math]\sqrt3P[/math]

deve essere scomposta nelle due aste orizzontali AC e BC. Siccome quello è un triangolo equilatero di lato a, allora queste componenti valgono ciascuna

[math]\sqrt3P[/math]

per il coseno di 30° (

[math]\sqrt3/2[/math]

.

Dunque 3/2 P.

Ma questo contraddice la soluzione data dal libro, che dovrebbe infatti essere P!

Cosa sbaglio?

[forzaperbraccio]

Suppongo che le tre aste siano vincolate tramite cerniere sferiche, in modo tale che siano soggette esclusivamente a sforzo normale. In tal caso, fissato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale:

A = (1/2 a, 0, 0)
B = (-1/2 a, 0, 0)
C = (0, sqrt(3)/2 a, 0)
D = (0, 0, -1/2 a)

le tre tensioni di modulo/verso incogniti e direzione nota sono:

T_AC = x (A - C) / ||A - C|| = (1/2 x, -sqrt(3)/2 x, 0)
T_BC = y (B - C) / ||B - C|| = (-1/2 y, -sqrt(3)/2 y, 0)
T_DC = z (D - C) / ||D - C|| = (0, -sqrt(3)/2 z, -1/2 z)

mentre l'unica forza di modulo/verso/direzione noti è:

F_p = P (0, 0, -1) = (0, 0, -P)

Quindi, imponendo l'equilibrio alla traslazione del nodo C, si ha:

T_AC + T_BC + T_DC + F_p = 0

che equivale ad un sistema di tre equazioni in tre incognite:

1/2 x - 1/2 y + 0 + 0 = 0
-sqrt(3)/2 x - sqrt(3)/2 y - sqrt(3)/2 z + 0 = 0
0 + 0 - 1/2 z - P = 0

che risulta verificato se e solo se:

x = +P
y = +P
z = -2P

ossia le prime due aste sono in trazione, la terza in compressione.

[ingres]

La componente totale lungo OC dovuta all'asta in D è correttamente

[math]\sqrt3P[/math]

Dividendo per 2 si ha la componente lungo OC per la singola asta in A (e in B).
Questa componente divisa per cos(30°) fornisce la forza totale lungo l'asta che quindi risulta uguale a P.