Problema di fisica con la propagazione degli errori.

[Flolover]

Un cilindro misura di diametro 2,54+- 0,01 cm e l'altezza misura 12,44+- 0,01cm. Devo trovare il volume e il suo errore assoluto poi devo trovare la superficie totale ed il suo errore assoluto. Non voglio solo i risultati ma anche la procedura.
Grazie mille a chi risponderà.

[danyper]

Benvenuta Flolover

Il problema richiede un pò di nozioni sulla teoria degli errori, ovvero di come essi si propagano quando si effettuano operazioni tra grandezze.
Partiamo dal volume.
Per un cilindro esso si calcola con la seguente formula:

[math]V=S_b*h[/math]

in cui l'area di base

[math]S_b[/math]

è l'area di un cerchio:

[math]S_b=\pi r^2[/math]

essendo il raggio r la metà del diametro, possiamo riscriverla così:

[math]S_b=\pi \frac{D^2}{4}[/math]

e dunque il volume diventa:

[math]V=\pi \frac{D^2}{4}*h[/math]

Inseriamo i valori numerici e calcoliamo:

[math]V=3,14 \frac{2,54^2}{4}*12,44=63,0025 cm^3[/math]

Quante cifre prendiamo?
2,54 ha 3 cifre significative
12,44 ha 4 cifre significative
Il loro prodotto avrà 3 cifre
RICORDA: IL MINORE VINCE SEMPRE !!

[math]V=63,0 cm^3[/math]

Come procediamo per l'errore assoluto sul volume?
Dobbiamo prima calcolare gli errori relativi sulle grandezze coinvolte: D ed h
errore relativo sul diametro D:

[math]e_r=\frac{e_a}{D}=\frac{0,01}{2,54}=0,004[/math]

Errore relativo su h:

[math]e_r=\frac{e_a}{h}=\frac{0,01}{12,44}=0,0008[/math]

Che ne facciamo di questi errori relativi? Li sommiamo
REGOL A DI PROPAGAZIONE:
"Nel prodotto o quoziente tra due o più grandezze di sommano gli errori relativi su di esse !!"
errore relativo sul volume= 0,004+0,004+0,0008=0,0088

Questo è l'errore relativo sul volume, ora non ci resta che calcolare quello assoluto, moltiplicandolo per il valore attendibile del volume:

[math]e_a=e_r*V=0,0088*63,0 cm^3=0.5544 cm^3[/math]

Quante cifre per l'errore assoluto? SOLO UNA
Nella stessa posizione della cifra incerta, nel nostro caso la prima decimale.

[math]e_a=0,6 cm^3[/math]

Esprimiamo ora correttamente la misura del volume:

[math]V=63,0\pm 0,6 cm^3 [/math]

Per il calcolo della superficie totale si procede in maniera analoga..

[math]S_{tot}=2S_b+S_l[/math]

La superficie di base è come prima, e va presa due volte.

[math]2S_b=2\pi \frac{D^2}{4}=10,129 cm^2[/math]

Quante cifre? 3

[math]2S_b=10,1 cm^2[/math]

L'errore relativo è la somma degli errori relativi sul diametro:
Per ogni base è 0,008
Per due basi è= 0,016

Errore assoluto sulla superficie di base:
e_a=0,016*10,1=0,1616=0,2 cm^2

[math]S_b=10,1\pm 0,2 cm^2[/math]

La superficie laterale è data dal prodotto del perimetro di base per l'altezza, ovvero la misura della circonferenza per l'altezza del cilindro.

[math]S_l=2\pi r *h[/math]

E poiché r=D/2

[math]S_l=\pi D *h=99,216464 cm^2[/math]

Quante cifre? 3

[math]S_l=99,2 cm^2[/math]

L'errore relativo sulla superficie laterale è dato dalla somma dell'errore relativo sul diametro e quello su h:
0,004+0,0008=0,0048

Errore assoluto sulla superficie laterale:
0,0048*99,2 cm^2=0,47616cm^2=0,5 cm^2

[math]S_l=99,2\pm 0,5cm^2[/math]

Superficie totale:

[math]S_{tot}=2S_b+S_l[/math]

[math]S_{tot}=10,1+99.2=109,3cm^2[/math]

Sommiamo gli errori assoluti sulle due superfici:

0,2+0,5=0,7 cm^2

Ed ora il risultato:

[math]S_tot=109,3 \pm 0,7 cm^2[/math]

Con tre cifre significative:

[math]S_tot=109 \pm 1cm^2[/math]

Chiedi se qualche passaggio non è chiaro!
^_^