Pendolo Semplice
Vi chiedo un ulteriore aiuto, per chiarire i miei dubbi anche riguardo il pendolo semplice...
Questo è il problema :
http://img806.imageshack.us/img806/5256/problemau.png
Vi spiego il mio dubbio : Affinchè il corpo di massa M resti in quiete pongo T - Fa (forza di attrito = MgU) = 0 . Ora spostandoci sul pendolo, siccome la corda è insensibile mi verrebbe da scrivere che T = mg cosΘ e di qui fare :
mgcosΘ - MgU = 0 .... solo che mi viene che il cosΘ è pari a 2, cosa di per se già impossibile oltre che in disaccordo con il risultato....
Se qualcuno può aiutarmi...Grazie mille.
Questo è il problema :
http://img806.imageshack.us/img806/5256/problemau.png
Vi spiego il mio dubbio : Affinchè il corpo di massa M resti in quiete pongo T - Fa (forza di attrito = MgU) = 0 . Ora spostandoci sul pendolo, siccome la corda è insensibile mi verrebbe da scrivere che T = mg cosΘ e di qui fare :
mgcosΘ - MgU = 0 .... solo che mi viene che il cosΘ è pari a 2, cosa di per se già impossibile oltre che in disaccordo con il risultato....
Se qualcuno può aiutarmi...Grazie mille.
Risposte
Devi tenere conto anche del contributo cinetico, è quello che determina alla fine se la massa M può restare ferma o meno. Quindi avrai, considerando che tale contributo è massimo quando m ha velocità massima:
Io non ho risolto, ma mi pare la cosa abbia senso. Se hai dubbi o se escono paradossi chiedi. :)
[math]mg+m\frac{v^2}{L}=Mg\mu_s\\
mg+m\cdot \frac{\left( \sqrt{2g\left( 1-\cos \bar{\theta}\right) }\right)^2 }{L}=Mg\mu_s[/math]
mg+m\cdot \frac{\left( \sqrt{2g\left( 1-\cos \bar{\theta}\right) }\right)^2 }{L}=Mg\mu_s[/math]
Io non ho risolto, ma mi pare la cosa abbia senso. Se hai dubbi o se escono paradossi chiedi. :)
Non posseggo ancora le nozioni di energia cinetica, lavoro ecc... quindi immagino non potessi risolverlo! Forse mi è stato assegnato erroneamente, ti ringrazio comunque, stampo tutto così appena conoscerò questi argomenti lo rifarò e verificherò il procedimento seguendo il tuo :D
Non ho usato energia e nemmeno il lavoro... Ho solo fatto il conto delle forze. Se tu guardi
[math]m\frac{v^2}{L}[/math]
è la forza centripeta. Forse non ti è chiaro ciò che ho fatto...
Ok, ho capito che alla formula della forza centripeta sostituisci la lunghezza del pendolo al raggio. Però non capisco perché hai sommato forza peso e forza centripeta, sono entrambe lungo lo stesso asse? Ed inoltre, nel secondo passaggio come muti V^2 in quell'altra relazione! Grazie sempre per il tuo aiuto :)
Hai ragione, la relazione che ho usato per trasformare v^2 in quella roba è l'energia cinetica. Puoi risolvere l'equazione per v. Dopo da v ricavi la velocità angolare imponi le equazioni del moto e puoi risolvere in
Dopo (sta sera) ti metto il procedimento più dettagliato. :)
Aggiunto 16 ore 50 minuti più tardi:
Questa è la velocità massima che può avere il pendolo. Poi per calcolare l'angolo massimo dobbiamo considerare l'equazione del moto:
Dove
Adesso per poter risolvere dobbiamo avere t. Ma t è per definizione un quarto di periodo. Inoltre considerando che il nostro pendolo è semplice (ideale ecc.), abbiamo che:
Dove
Quindi possiamo calcolare T e quindi t.
Ci serve un'altra equazione:
Metti a sistema e risolvi per
Ammetto che la soluzione è un po' complicata, conoscendo un po' di analisi sarebbe più semplice, questione di qualche derivata o integrale. Con l'energia i problemi non si pongono. :)
Se hai voglia di tentare di capire ed hai dubbi io sto qua. Altrimenti amen :lol
Aggiunto 1 minuto più tardi:
Un'altra possibilità che hai è quella di prendere un modo molto assiomatico le due leggi che descrivono il moto:
Imporre le condizioni iniziali e risolvere il sistema. :)
[math]\theta[/math]
. Dopo (sta sera) ti metto il procedimento più dettagliato. :)
Aggiunto 16 ore 50 minuti più tardi:
[math]v=\sqrt{ \(Mg\mu_s -mg\)\frac{L}{m} }[/math]
Questa è la velocità massima che può avere il pendolo. Poi per calcolare l'angolo massimo dobbiamo considerare l'equazione del moto:
[math]\theta (t)=\theta _0 + \Omega_0 t +\frac{1}{2}\alpha t^2+\frac{1}{6}\beta t^3[/math]
Dove
[math]\Omega[/math]
è la velocità angolare e [math]\alpha[/math]
è l'accelerazione angolare, [math]\beta[/math]
è la variazione di accelerazione (derivata terza in analisi), [math]\beta[/math]
è costante e vale [math]-\omega ^2[/math]
. Adesso per poter risolvere dobbiamo avere t. Ma t è per definizione un quarto di periodo. Inoltre considerando che il nostro pendolo è semplice (ideale ecc.), abbiamo che:
[math]T=\frac{2\pi}{\omega}[/math]
Dove
[math]\omega[/math]
è la pulsazione. Ma la pulsazione per il pendolo semplice vale:[math]\omega=\sqrt{\frac{g}{L}}[/math]
Quindi possiamo calcolare T e quindi t.
Ci serve un'altra equazione:
[math]\Omega(t)=\Omega_0 +\alpha t+\frac{1}{2}\beta t^2[/math]
Metti a sistema e risolvi per
[math]\theta[/math]
e [math]\alpha[/math]
.Ammetto che la soluzione è un po' complicata, conoscendo un po' di analisi sarebbe più semplice, questione di qualche derivata o integrale. Con l'energia i problemi non si pongono. :)
Se hai voglia di tentare di capire ed hai dubbi io sto qua. Altrimenti amen :lol
Aggiunto 1 minuto più tardi:
Un'altra possibilità che hai è quella di prendere un modo molto assiomatico le due leggi che descrivono il moto:
[math]\theta (t)=\theta _0 sin(\omega t+\phi)\\
\omega(t)=\theta_0\omega cos(\omega t+\phi)[/math]
\omega(t)=\theta_0\omega cos(\omega t+\phi)[/math]
Imporre le condizioni iniziali e risolvere il sistema. :)
Grazie mille, mi sembra chiaro il procedimento, ora mi applico e ti faccio sapere :)
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