Pendolo che urta parzialmente un corpo con molla dentro ad un carrello

[Fabien]

Ciao.

Ho il seguente esercizio che ho provato a svolgere, il testo è questo:
-
Un blocco di massa

[math]m_1=30 \ g[/math]

è fissato ad una molla di costante elastica

[math]k = 3 \ \frac{N}{m}[/math]

, ed è appoggiato ad un piano orizzontale scabro con coefficiente di attrito dinamico

[math]\mu_k=0.2[/math]

.
L'altro estremo della molla è fissato alla parete di un carrello. Un punto di massa

[math]m_2=80 \ g[/math]

è fissato ad un filo inestensibile di massa nulla e di lunghezza

[math]L=10 \ cm[/math]

che, a sua volta, è fissato al soffitto del carrello che si muove sotto una accelerazione

[math]a=5 \ \frac{m}{s^2}[/math]

. Il corpo

[math]m_2[/math]

viene a trovarsi ad un'altezza

[math]h[/math]

rispetto al piano orizzontale del carrello.
Dopo un certo tempo

[math]t[/math]

, raggiunta la velocità

[math]v[/math]

, il carrello procede con velocità costante ed il corpo

[math]m_2[/math]

passa per la verticale ed urta in modo non completamente anelastico il corpo di massa

[math]m_1[/math]

. Dopo l'urto la massa

[math]m_1[/math]

comprime la molla di

[math]\Delta x=3 \ cm[/math]

prima di fermarsi.
Determinare:
a) la velocità di

[math]m_1[/math]

immediatamente dopo l'urto;
b) il minimo valore che può assumere il coefficiente di attrito statico perchè

[math]m_1[/math]

resti in equilibrio nella posizione finale;
c) quanto tempo impiega la massa

[math]m_1[/math]

a ritornare nella posizione iniziale, in assenza di attrito;
d) l'energia dissipata nell'urto.
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I primi tre punti l'urto è già avvenuto e quindi il sistema è inerziale.
a) Dopo l'urto si può scrivere il lavoro delle forze di attrito:

[math]\frac{1}{2}k \Delta x^2-\frac{1}{2}m_1v_1^2=-\mu_k m_1 g \Delta x[/math]

da qui ricavo la velocità.
b) Quando la massa

[math]m_1[/math]

è compressa di

[math]\Delta x[/math]

, la forza elastica non deve superare la massima forza di attrito statico, quindi deve essere

[math]F_{el}\le F_{as} \to k\Delta x\le \mu_s m_1g \to \mu_k \ge \frac{k\Delta x}{m_1g}[/math]

da cui ricavo il minimo valore del coefficiente di attrito statico in cui il corpo resti in equilibrio nella posizione finale.
c) Per ricavare il tempo in cui la massa

[math]m_1[/math]

arrivi nella posizione iniziale il moto è armonico semplice con condizione iniziale

[math]x(0)=\Delta x[/math]

, dopo un certo tempo

[math]t_1[/math]

la molla è a riposo, quindi

[math]x(t_1)=0[/math]

.
L'equazione differenziale è quindi

[math]-kx=m\frac{d^2x}{dt} \to m_1\frac{d^2x}{dt}+kx=0[/math]

che ha soluzione

[math]x(t)=A \cos{\omega t}[/math]

con

[math]\omega=\sqrt{\frac{k}{m_1}}[/math]

. La costante

[math]A[/math]

la si ricava dalla condizione iniziale

[math]x(0)=\Delta x[/math]

, quindi

[math]x(0)=A=3 \ cm[/math]

quindi

[math]x(t)=0.03 \cos\left(\sqrt{\frac{k}{m_1}} t\right)[/math]

Ora ricavo il tempo richiesto:

[math]x(t_1)=0.03 \cos\left(\sqrt{\frac{k}{m_1}} t_1\right)=0[/math]

cioè

[math]\sqrt{\frac{k}{m_1}} t_1=\frac{\pi}{2} \to t_1=\frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{m_1}{k}}=\frac{T}{4}[/math]

quindi determino

[math]t_1=\frac{T}{4}[/math]

.
d) Qui bisogna determinare la velocità prima dell'urto, il sistema non è inerziale quindi occorre mettersi nel sistema di riferimento al carrello, dove conosco l'accelerazione del carrello che è quella di trascinamento.
La velocità che interessa è quella assoluta, posso determinare quindi la velocità relativa dalla conservazione dell'energia meccanica.
La quota iniziale è l'altezza

[math]h[/math]

dove si conosce la lunghezza del filo, ossia

[math]h=L(1-\cos{\alpha})[/math]

con

[math]\alpha[/math]

l'angolo che il filo forma con la verticale.
Proiettando gli assi x e y con asse verticale giacente al filo, con origine in cui parte la massa

[math]m_2[/math]

, dalla 2a di Newton

[math]T-m_2g\cos(\alpha)-m_2a_t\sin(\alpha)=0 \ \quad \ \mbox{asse y}[/math]

[math]m_2g\sin(\alpha)-m_2a_t\cos(\alpha)=0 \ \quad \ \mbox{asse x}[/math]

Dalla seconda equazione ricavo

[math]\tan(\alpha)=\frac{a_t}{g}[/math]

quindi ricavo l'altezza

[math]h[/math]

. Ottengo

[math]h=l\left(1-\frac{g}{\sqrt{a_t^2+g^2}}\right)=10.9 \ cm[/math]

La quota finale è nulla quando il corpo arriva ad urtare l'altro corpo, quindi la conservazione dell'energia, denotando con velocità relativa

[math]v_{2i}=v_{r}[/math]

cioè la velocità del pendolo prima dell'urto rispetto al carrello:

[math]\frac{1}{2}m_2v_{2i}^2=m_2gh[/math]

ricavo quindi la velocità prima dell'urto ponendo

[math]v_{ass}=v_{r}+v_t[/math]

, dove manca la velocità di trascinamento del carrello.
Quando il pendolo parte dalla quota

[math]h[/math]

fino al piano, il tempo trascorso è lo stesso dal momento in cui il carrello accelera fino ad arrivare alla velocità

[math]v[/math]

che è quella di trascinamento, che al tempo

[math]t[/math]

diventa costante. Quindi il periodo del pendolo in un sistema non inerziale è quella di un usuale pendolo ma cambia l'accelerazione di gravità dovuta alla forza apparente. Quindi

[math]g'=\sqrt{g^2+a_t^2}[/math]

quindi

[math]T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g'}}[/math]

Quando arriva alla verticale il tempo trascorso è

[math]t=\frac{T}{4}[/math]

, quindi la velocità di trascinamento è

[math]v_t=a_t t=a_t \frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{L}{g'}}[/math]

Ora dalla conservazione della quantità di moto trovo la velocità del pendolo dopo l'urto che chiamo

[math]v_{2f}[/math]

,

[math]m_2v_{2i}=m_1v_1+m_2v_{2f}[/math]

nota la velocità ricavo l'energia dissipata nell'urto:

[math]\Delta E=E_{cf}-E_{ci}=(\frac{1}{2}m_2v_{2f}^2+\frac{1}{2}m_1v_1^2)-(\frac{1}{2}m_2v_{ass}^2)[/math]

Non so se va bene come procedura.

[mc2]

Non capisco la tua affermazione:
"I primi tre punti l'urto è già avvenuto e quindi il sistema è inerziale."
Cosa c'entra l'urtu con il fatto che il sistema sia inerziale?

Il sistema non e' inerziale nella fase di accelerazione iniziale. Quando raggiunge la velocita v e la mantiene costante diventa un sistema inerziale.



Per quanto riguarda la tua soluzione, i punti a, b e c vanno bene (non ho rifatto i calcoli numerici).


Nel punto d hai impostato bene il calcolo di h ma devi fatto un errore nei calcoli: e' assurdo che h venga maggiore di L!

Aggiunto 6 minuti più tardi:

Nel resto del punto d mi sembra che hai frainteso il testo del problema: il corpo sospeso cade non appena il carrello smette di accelerare. L'informazione iniziale sull'accelerazione a serve solo per calcolare h, ma successivamente non serve piu'.

[Fabien]

Hai ragione!
Per l'altezza ho spostato di troppo la virgola di un posto. In realtà è

[math]h=1.09 cm[/math]

.

Nell'ultimo punto e l'affermazione che ho fatto all'inizio del post ho sbagliato a pensare che l'accelerazione finisce nello stesso momento in cui avviene l'urto. L'urto avviene dopo quando il carrello aveva già finito di accelerare.
Quindi la velocità prima dell'urto è semplicemente

[math]v_{2i}[/math]

quando conosco già l'altezza, nota l'accelerazione di trascinamento.

Non serviva nemmeno il calcolo della velocità di trascinamento.

Quindi l'ultima formula al post precedente diventa:

[math]\Delta E=E_{cf}-E_{ci}=(\frac{1}{2}m_2v_{2f}^2+\frac{1}{2}m_1v_1^2)-(\frac{1}{2}m_2v_{2i}^2)[/math]

con

[math]v_{2f}[/math]

ricavata con la conservazione della quantità di moto.
Nel disegno hanno disegnato anche

[math]h'[/math]

ma non so a cosa serva, al limite posso verificare che [math]h'

[mc2]

Cosi` va bene.