Moto lungo un piano inclinato

[lilyb00]

Due corpi sono disposti su due piani con uguale angolo di inclinazione e lunghezza. Il primo corpo è un cubo di legno di 2cm di lato, mentre il secondo è un blocco di granito di 1000kg. Qual'é il corpo che per primo raggiunge la base del piano, se l'attrito è trascurabile?

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Dato un corpo di massa

[math]m[/math]

posto su un piano liscio e inclinato di un angolo

[math]\alpha[/math]

rispetto all'orizzontale, applicando la seconda legge di Newton in direzio-
ne parallela al piano, si ha

[math]m\,g\,\sin\alpha = m\,a[/math]

da cui

[math]a = g\,\sin\alpha\\[/math]

.

Alla luce di ciò, sapendo che entrambi i corpi presentano spazio iniziale e
velocità iniziale identicamente nulli, le loro leggi orarie sono identiche e
pari a

[math]s = \frac{1}{2}\,a\,t^2 = \frac{1}{2}\,g\,\sin\alpha\,t^2[/math]

. In particolare, detta

[math]L[/math]

la lunghez-
za dei due piani inclinati considerati, il tempo

[math]t^*[/math]

per raggiungere la base
è calcolabile imponendo

[math]L = \frac{1}{2}\,g\,\sin\alpha\,{t^*}^2[/math]

, da cui

[math]t^* = \sqrt{\frac{2\,L}{g\,\sin\alpha}}\\[/math]

.

In conclusione, a prescindere dalla loro massa, dal loro volume e da ogni altra
caratteristica intrinseca, i due corpi impiegano lo stesso tempo per raggiungere
la base dei piani inclinati su cui giacciono, ossia arrivano in fondo alla pari. :)