Massa che scorre sopra un carrello con attrito

[Fabien]

Buongiorno.

Una massa puntiforme

[math]m = 200 \ g[/math]

scorre senza attrito sul piano di un carrello di massa

[math]M = 2 \ kg[/math]

. Il carrello presenta alle sue estremità due molle aventi costante elastica

[math]k_1 = 10 \ \frac{N}{m}[/math]

e

[math]k_2 = 50 \ \frac{N}{m}[/math]

come in figura.
Quando le molle sono a riposo la distanza tra loro è di

[math]l = 1 \ m[/math]

.
Inizialmente il sistema è fermo con la massa

[math]m[/math]

appoggiata alla molla di sinistra inizialmente compressa di

[math]\Delta x = 0.2 \ m[/math]

.
Ad un certo punto si lascia libera la massa

[math]m[/math]

, determinare:
a) la velocità di

[math]m[/math]

e

[math]M[/math]

quando

[math]m[/math]

lascia la molla;
b) il tempo impiegato dalla massa

[math]m[/math]

per percorrere il tratto

[math]l[/math]

;
c) la velocità del carrello quando la molla di destra è compressa di

[math]\Delta x_2 = 4 \ cm[/math]

;
d) la compressione massima della molla di destra dopo che la massa

[math]m[/math]

l'ha colpita;
e) Se il tratto

[math]l[/math]

ha attrito radente di coefficiente

[math]\mu = 0.2[/math]

, determinare a quale distanza dalla molla di sinistra si fermerà il corpo.

[mc2]

Ma il carrello si muove sul piano sottostante con o senza attrito?

[Fabien]

Tra il piano e il carrello non c'è attrito.

Aggiunto 2 ore 43 minuti più tardi:

# mc2 :
Ma il carrello si muove sul piano sottostante con o senza attrito?

Senza attrito.

[mc2]

a) Quando la molla e` liberata spinge la massa m verso destra ed il carrello verso sinistra.

Sia V_1 la velocita` del carrello e v_1 quella di m dopo che la molla si e` allungata.

Conservazione dell'energia meccanica:

[math]\frac{1}{2}k_1(\Delta x)^2=\frac{1}{2}MV_1^2+\frac{1}{2}mv_1^2[/math]

Conservazione della quantita` di moto:

[math]-MV_1+mv_1=0[/math]

Risolvendo il sistema si ottengono le due velocita`:

[math]v_1=\Delta x\sqrt{\frac{k_1M}{m(M+m)}}[/math]

e

[math]V_1=\Delta x\sqrt{\frac{k_1m}{M(M+m)}}[/math]

b) Le velocita` calcolate nel punto precedente sono relative al laboratorio (o al pavimento).
Nel sistema di riferimento solidale con il carrello la massa m ha velocita`

[math]v'_1=v_1+V_1[/math]

ed il tempo che impiega a percorrere la distanza l e`:

[math]t=\frac{l}{v'_1}[/math]

c) stesso ragionamento del punto a:

conservazione dell'energia:

[math]\frac{1}{2}k_1(\Delta x)^2=
\frac{1}{2}k_2(\Delta x_2)^2+\frac{1}{2}MV_2^2+\frac{1}{2}mv_2^2
[/math]

conservazione della quantita` di moto:

[math]0=-MV_2+mv_2[/math]

eccetera


d) sempre conservazione dell'energia:

[math]\frac{1}{2}k_1(\Delta x)^2=
\frac{1}{2}k_2(\Delta x_{2,max})^2
[/math]

e) conviene porsi nel sistema di riferimento del carrello, in cui la velocita` iniziale della massa m e` v'_1. Il moto e` uniformemente decelerato con accelerazione:

[math]a=-\mu_dg[/math]

[Fabien]

Quindi al punto e) basta che io applichi la formula cinematica

[math]0=v_1'^2+2ad[/math]

nel sistema di riferimento relativo al carrello?

[mc2]

Si`, va bene.