HELP, Problemino di Fisica ll !!!!
Una parete di densità volumica uniforme di carica positiva p di larghezza d è a contatto con uno strato di carica superficiale σ negativa. Determinare il campo elettrico in tutto lo spazio. Calcolare il campo elettrico in particolare al centro della parete e sul lato dove è a contatto con la carica superficiale.
DATI: p= 2*10^(-4) C/m^3
d = 5 cm
σ = -6*10^(-6) C/m^2
Grazie. Mi servirebbe un piccolo aiuto =) (La parete è raffigurata in un sistema di assi cartesiani oxy, ed è appoggiata sull'asse delle y quindi in posizione verticale.)
DATI: p= 2*10^(-4) C/m^3
d = 5 cm
σ = -6*10^(-6) C/m^2
Grazie. Mi servirebbe un piccolo aiuto =) (La parete è raffigurata in un sistema di assi cartesiani oxy, ed è appoggiata sull'asse delle y quindi in posizione verticale.)
Risposte
Principio di sovrapposizione: si possono calcolare i campi elettrici della parete e della carica superficiale separatemente, il campo elettrico risultante si ottiene semplicemente sommando i due contributi singoli.
Considero il sistema mostrato in figura.
Il campo elettrico dovuto alla carica superficiale ha modulo
Per il parete di spessore d si usa la legge di Gauss applicata ad un cilindro di altezza 2x (centrato sull'asse centrale della parete) ed area di base S:
Il verso di E_\rho e` rivolto verso l'esterno.
Questa formula e` valida solo all'interno della parete o sulla sua superficie. Al di fuori della parete il campo e` (usando ancora la legge di Gauss):
Il verso e` rivolto verso l'esterno.
Complessivamente si scrive:
Il campo risultante si ottiene sommando vettorialmente E_rho ed E_sigma
Quindi ora puoi calcolare il campo al centro della parete (x=0) e sulla superficie a contatto con la carica superficiale
Considero il sistema mostrato in figura.
Il campo elettrico dovuto alla carica superficiale ha modulo
[math]E_\sigma=\frac{\sigma }{2\varepsilon_0}[/math]
(troverai la spiegazione e la dimostrazione di questa formula sul tuo libro, oppure usa la legge di Gauss) ed e` rivolto verso la superficie (perche' sigma e` negativa). Quindi:[math]\vec{E}_\sigma=
\left\{ \begin{array}[c]{ll}
\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\vec{i}\quad\quad & \mbox{per }x < -\frac{d}{2} \\
-\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\vec{i}\quad & \mbox{per }x > -\frac{d}{2}
\end{array}
\right.
[/math]
\left\{ \begin{array}[c]{ll}
\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\vec{i}\quad\quad & \mbox{per }x < -\frac{d}{2} \\
-\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\vec{i}\quad & \mbox{per }x > -\frac{d}{2}
\end{array}
\right.
[/math]
Per il parete di spessore d si usa la legge di Gauss applicata ad un cilindro di altezza 2x (centrato sull'asse centrale della parete) ed area di base S:
[math]2E_\rho S=\frac{2x\rho S}{\varepsilon_0}\\
E_\rho=\frac{x\rho }{\varepsilon_0} [/math]
E_\rho=\frac{x\rho }{\varepsilon_0} [/math]
Il verso di E_\rho e` rivolto verso l'esterno.
Questa formula e` valida solo all'interno della parete o sulla sua superficie. Al di fuori della parete il campo e` (usando ancora la legge di Gauss):
[math]E_\rho=\frac{d\rho}{2\varepsilon_0}[/math]
Il verso e` rivolto verso l'esterno.
Complessivamente si scrive:
[math]\vec{E}_{\rho}=
\left\{ \begin{array}[c]{ll}
-\frac{d\rho}{2\varepsilon_0}\vec{i}\quad\quad & \mbox{per } x < 0 \\
-\frac{x\rho}{\varepsilon_0}\vec{i}\quad\quad & \mbox{per } 0 < x < \frac{d}{2} \\
\frac{x\rho}{\varepsilon_0}\vec{i}\quad\quad & \mbox{per } \frac{d}{2} < x < d \\
\frac{d\rho}{2\varepsilon_0}\vec{i}\quad\quad & \mbox{per } x > d
\end{array}
\right.
[/math]
\left\{ \begin{array}[c]{ll}
-\frac{d\rho}{2\varepsilon_0}\vec{i}\quad\quad & \mbox{per } x < 0 \\
-\frac{x\rho}{\varepsilon_0}\vec{i}\quad\quad & \mbox{per } 0 < x < \frac{d}{2} \\
\frac{x\rho}{\varepsilon_0}\vec{i}\quad\quad & \mbox{per } \frac{d}{2} < x < d \\
\frac{d\rho}{2\varepsilon_0}\vec{i}\quad\quad & \mbox{per } x > d
\end{array}
\right.
[/math]
Il campo risultante si ottiene sommando vettorialmente E_rho ed E_sigma
[math]\vec{E}_{tot}=
\left\{ \begin{array}[c]{ll}
\frac{\sigma-d\rho}{2\varepsilon_0}\vec{i}\quad\quad & \mbox{per } x < -\frac{d}{2} \\
-\frac{\sigma+2x\rho}{2\varepsilon_0}\vec{i}\quad\quad & \mbox{per } -\frac{d}{2} < x < 0 \\
\frac{2x\rho-\sigma}{2\varepsilon_0}\vec{i}\quad\quad & \mbox{per } 0 < x < \frac{d}{2} \\
\frac{d\rho}{2\varepsilon_0}\vec{i}\quad\quad & \mbox{per } x > \frac{d}{2}
\end{array}
\right.
[/math]
\left\{ \begin{array}[c]{ll}
\frac{\sigma-d\rho}{2\varepsilon_0}\vec{i}\quad\quad & \mbox{per } x < -\frac{d}{2} \\
-\frac{\sigma+2x\rho}{2\varepsilon_0}\vec{i}\quad\quad & \mbox{per } -\frac{d}{2} < x < 0 \\
\frac{2x\rho-\sigma}{2\varepsilon_0}\vec{i}\quad\quad & \mbox{per } 0 < x < \frac{d}{2} \\
\frac{d\rho}{2\varepsilon_0}\vec{i}\quad\quad & \mbox{per } x > \frac{d}{2}
\end{array}
\right.
[/math]
Quindi ora puoi calcolare il campo al centro della parete (x=0) e sulla superficie a contatto con la carica superficiale
[math](x=-\frac{d^+}{2}[/math]
Grazie Mille precisissimo. =)
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