Fisica - Sfera che scivola da discesa (esame sbagliato)

[paolin]

Ciao a tutti, vi scrivo ancora per risolvere il secondo esercizio del compito sbagliato, sperando di capire come fare per il prossimo appello. Dunque, come da titolo il problema é il seguente:

"una piccola sfera metallica di massa m, inizialmente ferma, scorre senza attrito lungo un piano inclinato di altezza h.
Raggiunta la base del piano, scorre, sempre senza attrito, lungo la faccia interna di un cerchio di raggio R, dove 2R ‹ h.
Determinare:
1-la velocità della sfera quando raggiunge la parte più alta del cerchio.
2-il valore della reazione del cerchio sulla pallina quando viene raggiunto tale punto.
3-il valore minimo di h tale da permettere alla sfera di percorrere il cerchio senza cadere."

E' quanto.
Volevo allegare un disegnino, ma il sistema non me lo permette, quindi chi lo volesse mi indichi un indirizzo mail che provvedo ad inviarlo.
Grazie e ciao a tutti.
Paolo

[xico87]

a spanne:
1) conservazione dell'energia meccanica (immagina un blocco che scivola su un piano inclinato: la sfera non può rotolare su se stessa non essendoci attrito, quindi ti trovi in una situazione abbastanza semplice)

2) forza centripeta (infatti essa viene fornita dalla reazione normale della parete del cerchio)

3) vedi punto 1)

[Cherubino]

Prima di iniziare: il fatto che il corpo sia una sfera è ininfluente: in assenza di attrito, non potendo rotolare ma solo strisciare, non è necessario tenere in conto degli effetto della rotazione della sfera su se stessa (che complicherebbero il problema).
Si considera quindi la sfera come un punto materiale (o un corpo il cui momento di inerzia sia trascurabile).

1. Conservazione dell'energia:
la quantità

[math]E= T + U = \frac 1 2 m v^2 + mgy[/math]

è costante lungo tutto il moto.
Questo significa che conoscendo i valori della velocità e della posizione in un certo istante (tipicamente quello iniziale), si può calcolare E. Un moto è dinamicamente ammissibile se E non cambia.
Sapendo che all'inizio v_i=0, e y_i = 2R, e alla fine v_f (incognita) e y_f =0, si ricava

[math]g(h - 2R)= \frac 1 2 v^2_f[/math]

da cui v_f = ... (domanda da orale: come mai scegliamo solo un "segno" di v_f ?)

2. Qui bisogna usare esplicitamente

[math]\vec F = m \vec a[/math]

Come sistema di coordinate, conviene usare coordinate polari, con origine nel centro della circonferenza, e angolo \theta che parte dalla posizione "verticale in basso".
Facendo lo schemetto delle forze, e proiettando lungo la direzione radiale e tangenziale, si ottiene l'equazione per la componente radiale della forza:

[math]-N + mg \cos \theta = - m \frac {v^2}R[/math]

dove N è la reazione vincolare (convenzionalmente, il vettore N è diretto verso il centro, da cui il segno meno) e l'ultimo termine è l'accelerazione centripeta (segno meno: è diretta verso il centro)
Si ricava quindi

[math]N = mg \cos \theta + m \frac {v^2}R[/math]

a cui bisogna sostituire il valore \theta = \pi, e il valore della velocità ottenuto al punto precedente per studiare il valore della reazione vincolare N.

3. Qui xico ha fatto una omissione: se la circonferenza non vincola il punto bilateralmente (ovvero, la sfera appoggia sul lato interno della guida, ma niente la tiene fissa alla circonferenza), il moto non è più unidimensionale (ovvero descrivibile da una sola coordinata che parametrizza il piano inclinato e la circonferenza), ma bidimensionale (la sferetta può accedere ad ogni punto interno della circonferenza, quindi servono due coordinate per specificare la posizione).

La condizione da richiedere in questo caso, è che la reazione vincolare sia rivolta "verso l'esterno" quando la sferetta attraversa il punto più alto della circonferenza:

[math]N = m(-g + \frac {v^2}{R})>0[/math]

da cui ottieni una disequazione per v, e quindi per h (vedi il punto 1).

Good Work!

[paolin]

...ok fatemi studiare quanto postato e ci risentiamo.
Intanto grazie.
Paolo