Fisica - problema pressione e spinta di archimede

[guido94]

avrei bisogno di risolvere questo problema che mi sta mettendo in difficoltà...
se su una barca dentro una piscina ci sei te e dei mattoni, poi butti i mattoni in piscina, il livello dell'acqua aumenta, rimane uguale o diminuisce?? grazie in anticipo

[IPPLALA]

Per te?
Per me aumenta anche se la variazione è impercettibile perchè c'è una grande quantità di acqua. Fai un'altra prova. Metti un sasso in bicchiere di acqua. E' la stessa identica cosa.
Che succede??

[guido94]

scusa ti faccio un'altra domanda già che ci 6...sè al posto dei mattoni butti giù dalla barca blocchi di legno cosa succede??

[Cherubino]

In realtà la situazione non è così semplice;
ho fatto 2 conti su un tovagliolo, e salvo errori vi illustro come procedere:

Bisogna considerare
- l'acqua che emerge a causa del volume occupato dai mattoni;
- il pelo d'acqua che scende a causa del minor volume della barca immerso quando si buttano i mattoni

Il primo contributo è semplice, l'ha già trovato Carla:
il volume di acqua che emerge dopo che si buttano i mattoni è

[math]V_m = \frac m {\rho_m}[/math]

,
dove m è la massa dei mattoni, e \rho_m la densità dei mattoni.

Per calcolare il secondo contributo sfruttiamo la dinamica: all'equilibrio, la forza peso del sistema (barca + mattoni) è equilibrato dalla spinta idrostatica:
forza peso: -(M + m)g,
dove M è la massa della barca con me sopra, e m è la massa dei mattoni.
spinta di archimede:

[math]\rho_a V f_1 g[/math]

,
dove \rho_a è la densità dell'acqua, V è il volume della barca, e f_1 è la frazione del volume della barca immersa.
Quindi prima che si buttino i mattoni

[math]M + m = \rho_a V f_1[/math]

(1)

Dopo che si buttano i mattoni, cambia la frazione di barca immersa, e ripetendo lo stesso ragionamento di prima, e chiamando f_2 la frazione di barca immersa dopo che si sono buttati i mattoni:

[math]M = \rho_a V f_2[/math]

(2)

Appare quindi evidente, che il volume immerso della barca varia da V f_1 a V f_2,
quindi la quantità di volume di acqua scende di V(f_2 - f_1) dopo che si sono buttati i mattoni.
Dividendo membro a membro la (2) con la (1) si ottiene con un passaggio:

[math]f_2 = \frac{M}{M+m} f_1[/math]

(3)

Quindi, il volume di acqua che scende è:

[math]V (f_2 - f_1) = V \frac{M + m }{\rho_a V} (\frac{M}{M+m} -1) = -\frac{m}{\rho_a}[/math]

,
dove per fare il conto si è sostituito f_2 come in (3), f_1 come in (2), e si è semplificato il semplificabile.

In definitiva:
- "sale" il volume

[math]\frac m {\rho_m}[/math]

- "scende" il volume

[math]\frac m {\rho_a}[/math]

Quindi se la densità del mattone è maggiore della densità dell'acqua, il livello scende.