Fisica matematica...

[mia88]

Non riesco a risolvere tre problemi di fisica matematica(meccanica razionale)...qualcuno puo aiutarmi....sono veramnete disperata..... li allego

[the.track]

Per la configurazione di equilibrio dobbiamo imporre che

[math]\nabla V=0[/math]

dove V è il potenziale. Troviamolo.

[math]V_{k}=\frac{1}{2}k(2l\sin\theta)^2\\
V_{h}=\frac{1}{2}h \[ s\cdot \sin\(\frac{\theta}{2} \) \] \\
V_{3M}=-3Mg\( \frac{7}{6}l\sin\( \theta +\frac{\pi}{6}+\frac{arctan\(
\frac{1}{3}\) }{3}\)\)\\
V_{M}=-Mgs\cdot \sin \(
\frac{\theta}{2}\)[/math]

[math]V_tot=V_k+V_h+V_{3M}+V_M=\\
=\frac{1}{2}k(2l\sin\theta)^2+\frac{1}{2}h\( s\cdot \sin\(\frac{\theta}{2}\)\)-3Mg\(\frac{7}{6}l\sin\(\theta +\frac{\pi}{6}+\frac{\arctan\(\frac{1}{3}\) }{3}\)-Mgs\cdot \sin \(\frac{\theta}{2}\)[/math]

Aggiunto 7 minuti più tardi:

Chiedo scusa per latex, ma a quanto pare ci sono problemi di interpretazione del codice. Spero ti riesca a capire.
Imponiamo il gradiente uguale a zero.

[math]\nabla V=\( \frac{\partial V}{\partial s},\frac{\partial V}{\partial \theta} \)\\
\frac{\partial v}{\partial s}= s\cdot h \sin^2\(\frac{\theta}{2} \)-Mg\sin\(\frac{\theta}{2}\) \\
\frac{\partial v}{\partial \theta}=2kl^2\sin(2 \theta )+\frac{1}{2}hs\sin(\theta)-Mg\frac{7}{2}l\cos(\theta+\pi/6+(\arctan(1/3))/3)-Mgs\cos(\theta/2)[/math]

Aggiunto 16 minuti più tardi:

Vado avanti domani, i calcoli sono lunghetti.

[mia88]

ok....grazie mille dell aiuto

[the.track]

[math]h=\(\frac{Mg}{s\sin\(\theta/2\)} \)_{\theta=\bar{\theta};s=\bar{s}}[/math]

[math]k=\frac{\frac{7}{2}Mgl\cos\(\theta+\frac{\pi}{6}+\frac{\arctan\frac{1}{3}}{3}\)+Mgl\cos\(\frac{\theta}{2}\)-\frac{1}{2}hl\sin\theta}{2l^2\sin(2\theta)}[/math]

Può essere ci siano errori di conto. Del resto il fatto che escano valori brutti deriva dalla posizione del baricentro della lamina, che in quelle coordinate fa abbastanza schifo.

Aggiunto 59 secondi più tardi:

Anche k lo valuti nella posizione richiesta.

Aggiunto 8 minuti più tardi:

c) Per trovare L dobbiamo trovare T, sapendo che:

[math]L=T-V[/math]

[math]T=\frac{1}{2}3M(\dot{x}_{3M}^2+\dot{y}_{3M}^2)+\frac{1}{2}M(\dot{x}_M^2+\dot{y}_M^2)+\frac{1}{2}I_{3M}\omega_{3M}^2+\frac{1}{2}I_M\omega_M^2[/math]

Aggiunto 3 minuti più tardi:

Per trovare

[math]\dot{x}[/math]

trovi l'espressione di x nelle coordinate s e

[math]\theta[/math]

e poi differenzi. Analogamente per y.

Se mi viene l'ispirazione poi rispondo a b). Sarebbe un attimo facendo considerazioni di tipo "classico", lavorando quindi con le forze.

[mia88]

eh si ho avuto problemi con il baricentro della lamina....grazie del tuo aiuto...

[the.track]

Per trovarlo consiglio di farlo direttamente in coordinate

[math]s[/math]

e

[math]\theta[/math]

. Per comodità dividi la lamina in tre quadrati. I baricentri dei tre quadrati stanno ovviamente all'incrocio delle loro diagonali. Se ora descrivi i 3 baricentri ottieni che sono di coordinate:

[math]G_1=(l/2, \theta + \pi/4)\\
G_2=(3l/2, \theta + arctan(1/3))\\
G_3=(3l/2, \theta + \pi/4)[/math]

Sai che:

[math]\vec{R}=\frac{\sum_{i=1}^3 M\vec{G_i} }{3M}[/math]

Da cui ricavi il baricentro della lamina.

[mia88]

eh si era meglio farlo direttamente con le coordinate ma non c ho pensato....anche gli alitri due punti non sono facili....