Espansione reversibile adiabatica

[FrancescoSforte]

Non riesco a fare questo esercizio, mi potete dare una mano? 1 mole di gas monoatomico a 21° C viene espansa da 24,4 L a 26,8 L in modo reversibile e adiabatico. Calcola la temperatura finale del gas. [Tf = 9°C]

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Per una trasformazione adiabatica reversibile vale la relazione

[math]T_1\,V_1^{k-1} = T_2\,V_2^{k-1}[/math]

dove

[math]k[/math]

è il rapporto dei calori speci-
fici a pressione e volume costanti del gas in esame. In particolare,
per i gas monoatomici si ha

[math]k = \frac{5}{3}[/math]

. A conti fatti, si trova

[math]T_2 \approx 3.17°C[/math]

e non

[math]9°C[/math]

come riportato. ;)

[FrancescoSforte]

Ma per le trasformazioni adiabatiche non è P1(V1)^gamma=P2(V2)^gamma?

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Per le trasformazioni adiabatiche reversibili, valgono le equazioni di Poisson:

1.

[math]P_1\,V_1^k = P_2\,V_2^k\\[/math]

;

2.

[math]T_1\,V_1^{k - 1} = T_2\,V_2^{k - 1}\\[/math]

;

3.

[math]T_1\,P_1^{\frac{1 - k}{k}} = T_2\,P_2^{\frac{1 - k}{k}}\\[/math]

.

La scelta dell'equazione da usare è basata essenzialmente sui dati a disposizione. ;)

[FrancescoSforte]

Ook
E k è il rapporto dei calori specifici a pressione e volume costanti del gas in esame, ma non capisco perchè viene 5/3.

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Dunque, dovresti sapere che si definisce calore specifico di una sostanza
la quantità di calore necessaria per innalzare (o diminuire) la temperatura
di una unità di massa di

[math]1\,K[/math]

(o equivalentemente

[math]1\,°C[/math]

). A seconda
se la variazione di temperatura è dovuta ad una trasformazione isobara o
isocora si parla di calore specifico a pressione costante (

[math]c_p[/math]

) o calore
specifico a volume costante (

[math]c_v[/math]

). Per i gas perfetti si dimostra che

[math]c_p = c_v + R\\[/math]

(dove

[math]R[/math]

è la costante universale dei gas).

A questo punto, si introduce un'altra proprietà importante per i gas perfetti
detta rapporto dei calori specifici

[math]k[/math]

, definita molto semplicemente da

[math]k := \frac{c_p}{c_v}[/math]

. E' bene notare che tale rapporto, in generale, varia con la tem-
peratura, ma tale variazione è molto piccola: per i gas monoatomici

[math]k[/math]

può
essere considerato costante e pari a

[math]5/3 \approx 1.667[/math]

; per molti gas biato-
mici, inclusa l'aria,

[math]k[/math]

è circa pari a

[math]7/5 = 1.4[/math]

a temperatura ambiente.
Sul "perché" di tali valori diciamo che sono frutto di sperimentazioni e di
valutazioni chimico-statistiche.

Ti pare un po' più chiaro? :)

[FrancescoSforte]

Sono riuscito a risolvere il problema.
ti= 20°C = 293°K
f(gradi di libertà, in questo caso di una molecola biatomica) = 5
Vi = 24,4L
Vf 26,8L

gamma = (f+2)/f --> (5+2)/5 = 1,4
tf = ti (Vi/Vf)^gamma-1 --> 293°K (24,4L/26,8L)^1,4-1 --> 293°K(0,963) ------> 282,20 °K - 273.15 = 9,05 °C

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

# FrancescoSforte :
Sono riuscito a risolvere il problema.
ti= 20°C = 293°K
f(gradi di libertà, in questo caso di una molecola biatomica) = 5

Diciamo che hai fatto tornare i conti, in quanto si parla espressamente
di un gas monoatomico e la temperatura iniziale è pari a

[math]21°C\\[/math]

.

Quindi, o l'errore sta nella scrittura del tipo di gas o nella scrittura
del risultato. Quel che è certo è che qualcosa è sbagliato di sicuro. ;)

[FrancescoSforte]

Si hai ragione, ho sbagliato a scrivere io, mi sono confuso con 2 esercizi che somo praticamente identici, stesso volume iniziale e un volume finale molto simile, e la temperatura cambia di un grado. Devo stare più attento.
Grazie per avermi aiutato