Esercizio sull'oscillatore armonico
Buongiorno, posto un esercizio sull'oscillatore armonico.
Il sistema di figura è costituito da due molle di costante elastica
La massa viene spostata dalla sua posizione di equilibrio e lasciata libera.
Sapendo che il piano è senza attrito e che la velocità massima della massa è
a) il periodo delle oscillazioni;
b) l'ampiezza massima delle oscillazioni;
c) la velocità della massa quando l'ampiezza è 1/3 di quella massima.
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a) Con la seconda legge di Newton ho ricavato l'equazione differenziale
Ricavo il periodo delle oscillazioni:
b) Posso utilizzare le equazioni del moto o più velocemente con la conservazione dell'energia meccanica:
ricavo in modulo
c) L'ultima domanda ho utilizzato la conservazione dell'energia partendo dalla posizione di equilibrio fino a quando la massa m arriva ad un ampiezza pari a 1/3 di quella massima, che deve avere ovviamente una velocità minore di quella massima.
Trovo
In alternativa potevo utilizzare le equazioni del moto cambiando le condizioni iniziali.
Il sistema di figura è costituito da due molle di costante elastica
[math]k_1=200 \ N/m[/math]
e [math]k_2=300 \ N/m[/math]
e una massa [math]m=0.5 \ kg[/math]
.La massa viene spostata dalla sua posizione di equilibrio e lasciata libera.
Sapendo che il piano è senza attrito e che la velocità massima della massa è
[math]v_{max}=10 \ m/s[/math]
, determinare:a) il periodo delle oscillazioni;
b) l'ampiezza massima delle oscillazioni;
c) la velocità della massa quando l'ampiezza è 1/3 di quella massima.
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a) Con la seconda legge di Newton ho ricavato l'equazione differenziale
[math]\frac{d^2x}{dt^2}+\frac{k_1+k_2}{m}x=0[/math]
Ricavo il periodo delle oscillazioni:
[math]T=2\pi\sqrt{\frac{k_1+k_2}{m}}=199 \ \mbox{ms}[/math]
b) Posso utilizzare le equazioni del moto o più velocemente con la conservazione dell'energia meccanica:
[math]\frac{1}{2}mv_{max}^2=\frac{1}{2}(k_1+k_2)A^2[/math]
ricavo in modulo
[math]A=v_{max}\sqrt{\frac{m}{k_1+k_2}}=31.6 \ \mbox{cm}[/math]
c) L'ultima domanda ho utilizzato la conservazione dell'energia partendo dalla posizione di equilibrio fino a quando la massa m arriva ad un ampiezza pari a 1/3 di quella massima, che deve avere ovviamente una velocità minore di quella massima.
[math]\frac{1}{2}mv_{max}^2=\frac{1}{2}mv_{f}^2+\frac{1}{2}(k_1+k_2)\left(\frac{A}{3}\right)^2[/math]
Trovo
[math]v_f=\frac{2}{3}\sqrt{3}v_{max}=9.43 \ \frac{m}{s}[/math]
In alternativa potevo utilizzare le equazioni del moto cambiando le condizioni iniziali.
Risposte
Il periodo e`
Che ragionamento hai fatto per poter considerare le due molle come una sola? Senza considerare le lunghezze a riposo e la distanza delle estremita` delle molle?
In realta` se si considerano le lunghezze a riposo delle due molle e la lunghezza del piano di appoggio l'equazione del moto non e` quella che hai scritto tu, perche' compare una costante additiva, che pero` non influisce sui calcoli del periodo, dell'ampiezza e della velocita` richiesta al punto c, che sono giusti.
Probabilmente e` per questo che il testo non ne fa cenno, ma tu non puoi bellamente ignorare questo effetto e scrivere equazioni come se le molle avessero lunghezza a riposo nulla e non fossero attaccate alle due estremita` del piano di appoggio. Devi dare un minimo di spiegazione.
[math]T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{m}{k_1+k_2}}[/math]
Che ragionamento hai fatto per poter considerare le due molle come una sola? Senza considerare le lunghezze a riposo e la distanza delle estremita` delle molle?
In realta` se si considerano le lunghezze a riposo delle due molle e la lunghezza del piano di appoggio l'equazione del moto non e` quella che hai scritto tu, perche' compare una costante additiva, che pero` non influisce sui calcoli del periodo, dell'ampiezza e della velocita` richiesta al punto c, che sono giusti.
Probabilmente e` per questo che il testo non ne fa cenno, ma tu non puoi bellamente ignorare questo effetto e scrivere equazioni come se le molle avessero lunghezza a riposo nulla e non fossero attaccate alle due estremita` del piano di appoggio. Devi dare un minimo di spiegazione.
Ho sbagliato a trascrivere il periodo, chiedo scusa....
Ho fatto questo procedimento per il punto a):
Se il piano di appoggio è lungo L, supponiamo che la lunghezza delle molle a riposo siano
quindi
Immagino ora di spostare la massa
La compressione della molla
da cui
La 2a di Newton applicata alla massa è in questo caso
Dopo alcuni passaggi arrivo all'equazione differenziale (diversa da quello che ho scritto nel post precedente):
Poichè la lunghezza del piano di appoggio è
e la pulsazione è sempre data da
da cui ricavo il periodo già calcolato al post precedente e non cambiano le risposte ai punti b) e c).
Ho fatto questo procedimento per il punto a):
Se il piano di appoggio è lungo L, supponiamo che la lunghezza delle molle a riposo siano
[math]l_{01}[/math]
e [math]l_{02}[/math]
, che sono in generale diverse tra loro, in condizioni di equilibrio statico, trovo[math]k_1\cdot l_{01}=k_2\cdot l_{02}[/math]
quindi
[math]\frac{k_1}{k_2}=\frac{l_{02}}{l_{01}}=\frac{2}{3}[/math]
Immagino ora di spostare la massa
[math]m[/math]
di una quantità [math]\Delta l[/math]
verso destra e la lascio andare.La compressione della molla
[math]k_2[/math]
è pari all'allungamento della molla [math]k_1[/math]
, quindi [math]\Delta l_2=\Delta l_1[/math]
, dove[math]\Delta l_1=l_1-l_{01} \quad \Delta l_2=l_2-l_{02}[/math]
da cui
[math]l_1-l_{01}=l_2-l_{02}[/math]
La 2a di Newton applicata alla massa è in questo caso
[math]-k_1\Delta l_1-k_2\Delta l_2=ma[/math]
[math]-k_1(l_1-l_{01})-k_2(l_2-l_{02})=ma[/math]
[math]-k_1(l_2-l_{02})-k_2(l_2-l_{02})=m\frac{d^2(l_2-l_{02})}{dt^2}[/math]
Dopo alcuni passaggi arrivo all'equazione differenziale (diversa da quello che ho scritto nel post precedente):
[math]\frac{d^2l_2}{dt^2}+\frac{k_1+k_2}{m}l_2=\frac{k_1+k_2}{m}l_{02}[/math]
Poichè la lunghezza del piano di appoggio è
[math]L=l_{01}+l_{02}=\frac{5}{2}l_{02}[/math]
, sostituendola nell'equazione differenziale:[math]\frac{d^2l_2}{dt^2}+\frac{k_1+k_2}{m}l_2=\frac{2}{5}\frac{k_1+k_2}{m}L[/math]
e la pulsazione è sempre data da
[math]\omega=\sqrt\frac{k_1+k_2}{m}[/math]
da cui ricavo il periodo già calcolato al post precedente e non cambiano le risposte ai punti b) e c).
La condizione di equilibrio statico non si calcola con la lunghezza a riposo delle molle, ma con la loro deformazione!
Inoltre dove sta scritto che
Se la deformazione della prima molla e` x, la deformazione della seconda molla sara`
Supponiamo che sia
L'eq. del moto e`:
La posizione di equilibrio corrisponde al valore di x che annulla il secondo membro. Per il resto l'equazione e` uguale a quella che avevi scritto tu ma con un termine additivo in piu`, che non modifica il calcolo del periodo ne` le risposte ai punti b e c
Se invece
Se
Inoltre dove sta scritto che
[math]L=l_{01}+l_{02}[/math]
?Se la deformazione della prima molla e` x, la deformazione della seconda molla sara`
[math]L-l_{01}-l_{02}-x[/math]
Supponiamo che sia
[math]L>l_{01}+l_{02}[/math]
: all'equilibrio entrambe le molle dovranno essere allungate rispetto alla loro posizione di riposo.L'eq. del moto e`:
[math]m\frac{d^2 x}{dt^2}=-k_1x+k_2(L-l_{01}-l_{02}-x)=
-(k_1+k_2)x+k_2(L-l_{01}-l_{02})
[/math]
-(k_1+k_2)x+k_2(L-l_{01}-l_{02})
[/math]
La posizione di equilibrio corrisponde al valore di x che annulla il secondo membro. Per il resto l'equazione e` uguale a quella che avevi scritto tu ma con un termine additivo in piu`, che non modifica il calcolo del periodo ne` le risposte ai punti b e c
Se invece
[math]L< l_{01}+l_{02}[/math]
all'equilibrio entrambe le molle sono compresse. L'equazione che si ottiene e` equivalente a quella appena scritta.Se
[math]L= l_{01}+l_{02}[/math]
l'equazione del moto si semplifica (il termine costante si annulla): x=0 e` la posizione di equilibrio. In pratica e` il caso che avevi considerato all'inizio: un caso molto particolare, assunto senza giustificarlo.
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