Esercizio molla compressa-forza elastica

[Oo.Stud.ssa.oO]

Ciao a tutti,
In allegato c è il testo di un esercizio.
La domanda che volevo fare riguarda il primo punto.
Nel calcolo delle forze esterne totali va considerata anche la forza elastica oltre che la forza costante F?

Spero ci sia l allegato......

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

No, niente allegato... :|

[Oo.Stud.ssa.oO]

[img]http:// [/img]

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Il problema di Cauchy che porge l'equazione del moto di tale corpo è:

[math]\begin{cases} F - \kappa\,x(t) = m_1\,\ddot{x}(t) \\ x(0) = 0 \\ \dot{x}(0) = 0 \end{cases}\\[/math]

Ok? :)

[Oo.Stud.ssa.oO]

Ok, il dubbio era che la F elastica dovesse essere considetara solo per t> t1 cioè a compressione finita.

Comunque per risolvere il punto 1:
Grazie a quella formula trovo l accelerazione, dopodiché tratto il moto come un moto rettilineo uniformemente accelerato e trovo la velocità, giusto?

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Risolvendo il problema posto sopra si determina la legge oraria spaziale
di tale corpo fino al tempo

[math]t_1[/math]

, istante in cui cessa di agire la forza

[math]\mathbf{F}[/math]

.
Al solito, derivandola nel tempo si risale alla legge oraria della velocità
e derivando una seconda volta, volendo, pure quella dell'accelerazione.
A quel punto, valutato lo spazio percorso e la velocità raggiunta in tale
tempo, per determinare la legge oraria spaziale per

[math]t > t_1[/math]

occorre
procedere in maniera analoga a quanto appena fatto. ;)

[Oo.Stud.ssa.oO]

Ma non è più semplice fare così
[img]http:// [img=http://s4.postimg.org/qmkfz5d0p/DSC_3130.jpg][/img]
?

Potresti dirmi come calcolare la soluzione particolare dell equazione nel problema di cauchy? :(

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Certo che sarebbe più facile, ma non è corretto in quanto la forza elastica
non è costante ad ogni istante

[math]t[/math]

, bensì dipende dalla posizione

[math]x\\[/math]

. ;)

P.S. la soluzione particolare da cercare è del tipo:

[math]y_p(t) = A[/math]

, con

[math]A \in \mathbb{R}[/math]

.

[Oo.Stud.ssa.oO]

Non ne vengo fuori......

[img]http:// [/img]
Mi risulta A=0....non puo essere...

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Ponendo

[math]\omega := \sqrt{\frac{\kappa}{m_1}}[/math]

la pulsazione del moto, si ha:
1) soluzione dell'omogenea associata:

[math]x_o(t) = c_1\,\cos(\omega\,t) + c_2\,\sin(\omega\,t)[/math]

;
2) soluzione particolare:

[math]x_p(t) = \frac{F}{m_1\,\omega^2}[/math]

;
3) soluzione completa:

[math]x(t) = x_o(t) + x_p(t)[/math]

;
4) applicando le condizioni iniziali:

[math]c_1 = - \frac{F}{m_1\,\omega^2}[/math]

,

[math]c_2 = 0[/math]

;
5) soluzione del problema di Cauchy:

[math]x(t) = \frac{F}{\kappa}\left(1- \cos(\omega\,t)\right)\\[/math]

.

Vedi se ti tornano i conti. ;)

[Oo.Stud.ssa.oO]

Ma quindi quand era che avrò una soluzione del tipo
ACos(wt+f)
Come per esempio nel pendolo?
Ho un Po di confusione in testa a riguardl......

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Equivalentemente, ponendo

[math]\omega := \sqrt{\frac{\kappa}{m_1}}[/math]

la pulsazione del moto, si ha:
1) soluzione dell'omogenea associata:

[math]x_o(t) = A\,\cos(\omega\,t + \varphi)[/math]

;
2) soluzione particolare:

[math]x_p(t) = \frac{F}{m_1\,\omega^2}[/math]

;
3) soluzione completa:

[math]x(t) = x_o(t) + x_p(t)[/math]

;
4) applicando le condizioni iniziali:

[math]A = \frac{F}{m_1\,\omega^2}[/math]

,

[math]\varphi = \pi[/math]

;
5) soluzione del problema di Cauchy:

[math]x(t) = \frac{F}{\kappa}\left(1- \cos(\omega\,t)\right)\\[/math]

.

Vedi se ti tornano i conti. ;)

[Oo.Stud.ssa.oO]

Ok ci sono arrivata anch io -.-
Però ho bisogno anche del tempo t... Come lo trovo?


Dal momento che al tempo

[math]\small t_1[/math]

tale corpo ha percorso

[math]\small x(t_1) = 0.2\,m[/math]

,
per determinare tale istante temporale è sufficiente risolvere l'equazione:

[math]0.2 = \frac{7}{20}\left(1- \cos\left(\sqrt{\frac{20}{3}}\,t_1\right)\right) \; \Rightarrow \; t_1 \approx 0.437\,s[/math]

. [TeM]