Esercizio meccanica razionale sistema di corpi rigidi
Salve a tutti,
avrei un problema con l'esercizio 2 dell'allegato.
Ho fatto lo studio geometrico,non so se sia corretto,il sistema ha:
-una cerniera fissa in A: Xa=0 e Ya=0 ,prendo come parametro lagrangiano α
-un carrello con cerniera in B: Xc=d ,prendo come parametro lagrangiano Yc e β
Quindi il sistema ha 6-3=3 g.d.l
Ho trovato le coordinate dei punti:
A(0,0) B(Lcosα,Lsenα) C(d,Yc) G1(L/2 cosα,L/2 senα)punto medio asta AB
D(d+Lcosβ,Yc+Lsenβ) G2(d+L/2cosβ,Yc+L/2senβ)
Ora non riesco a capire come devo procedere per i punti 2)3)4),quali sistemi di equazioni impostare e quali risultati otterrei.
Grazie mille a chiunque voglia aiutarmi.:-)
avrei un problema con l'esercizio 2 dell'allegato.
Ho fatto lo studio geometrico,non so se sia corretto,il sistema ha:
-una cerniera fissa in A: Xa=0 e Ya=0 ,prendo come parametro lagrangiano α
-un carrello con cerniera in B: Xc=d ,prendo come parametro lagrangiano Yc e β
Quindi il sistema ha 6-3=3 g.d.l
Ho trovato le coordinate dei punti:
A(0,0) B(Lcosα,Lsenα) C(d,Yc) G1(L/2 cosα,L/2 senα)punto medio asta AB
D(d+Lcosβ,Yc+Lsenβ) G2(d+L/2cosβ,Yc+L/2senβ)
Ora non riesco a capire come devo procedere per i punti 2)3)4),quali sistemi di equazioni impostare e quali risultati otterrei.
Grazie mille a chiunque voglia aiutarmi.:-)
Risposte
Il sistema ha 3 gradi di libertà: come variabili lagrangiane puoi utilizzare
gli angoli
Il potenziale lagrangiano della sollecitazione è la somma dei potenziali dei
pesi, di quello della forza
due coppie. Quindi:
Ricorda che il lavoro elementare di una coppia è
per la coppia
Infine, calcola le coordinate di
lagrangiane:
Svolgi i calcoli con attenzione e, dato che si chiede solo di individuare
le posizioni di equilibrio, devi cercare i punti estremali della funzione
sistema. Se hai difficoltà, faccelo sapere. ;)
gli angoli
[math]\alpha[/math]
e [math]\beta[/math]
e la coordinata [math]y_C[/math]
.Il potenziale lagrangiano della sollecitazione è la somma dei potenziali dei
pesi, di quello della forza
[math]\vec{F}[/math]
, di quello della forza elastica e di quelli delle due coppie. Quindi:
[math]
\begin{aligned}
& U_{P_1} = - m\,g\frac{L}{2}\sin\alpha \; ; \\
& U_{P_2} = - m\,g\,\left(y_C + \frac{L}{2}\sin\beta\right) \; ; \\
& U_{F} = F\,y_C = m\,g\,y_C \; ; \\
& U_{el} = - \frac{1}{2}K\,|BD|^2 \; ; \\
& U_{\tau_1} = m\,g\frac{L}{2}\sin\alpha \; ; \\
& U_{\tau_2} = m\,g\frac{L}{2}\sin\beta \; . \\
\end{aligned}
[/math]
\begin{aligned}
& U_{P_1} = - m\,g\frac{L}{2}\sin\alpha \; ; \\
& U_{P_2} = - m\,g\,\left(y_C + \frac{L}{2}\sin\beta\right) \; ; \\
& U_{F} = F\,y_C = m\,g\,y_C \; ; \\
& U_{el} = - \frac{1}{2}K\,|BD|^2 \; ; \\
& U_{\tau_1} = m\,g\frac{L}{2}\sin\alpha \; ; \\
& U_{\tau_2} = m\,g\frac{L}{2}\sin\beta \; . \\
\end{aligned}
[/math]
Ricorda che il lavoro elementare di una coppia è
[math]dL = \left|\vec{\tau}\right|\,d\theta[/math]
quindi [math]dU = dL = \left|\vec{\tau}\right|\,d\theta[/math]
dove per la coppia [math]\vec{\tau}_1[/math]
si ha [math]\theta = \alpha[/math]
mentre per la coppia
[math]\vec{\tau}_2[/math]
si ha [math]\theta = \beta[/math]
.Infine, calcola le coordinate di
[math]B[/math]
e [math]D[/math]
in funzione delle variabili lagrangiane:
[math]\small x_B = L\,\cos\alpha[/math]
, [math]\small y_B = L\,\sin\alpha[/math]
, [math]\small x_D = d + L\,\cos\beta[/math]
, [math]\small y_D = y_C + L\,\sin\beta[/math]
e quindi [math]\small |BD|^2 = \left(x_D - x_B\right)^2 + \left(y_D - y_B\right)^2[/math]
.Svolgi i calcoli con attenzione e, dato che si chiede solo di individuare
le posizioni di equilibrio, devi cercare i punti estremali della funzione
[math]U = U(\alpha, \, \beta, \, y_C)[/math]
essendo [math]U[/math]
il potenziale complessivo del sistema. Se hai difficoltà, faccelo sapere. ;)
Ciao TeM! ti ringrazio moltissimo per la risposta.
Però non ho capito molto come hai svolto l'esercizio,non per colpa tua,ma perchè il nostro prof non ci ha spiegato queste cose e affronta l'esercizio in maniera diversa.In genere risolve questo tipo di problemi applicando la I e II equazione cardinale della statica.
Ossia {F(e)+Φ(e)=0
{M(e)+ μ(e)=0
dove
F(e) e M(e) sono risultante e momento risultante delle forze esterne attive. Φ(e)e μ(e) sono risultante e momento risultante delle reazioni esterne vincolari.Imponendo quindi l'equilibrio alla traslazione e rotazione.
Da queste equazioni determina le reazioni vincolari e i parametri lagrangiani. Poi con i valori trovati ricava le configurazioni d'equilibrio. Io però forse sbaglio ad impostare questi sistemi,in quanto non so se applicarne uno per ogni asta e studiarle in maniera disgregata oppure applicarle all'intero sistema,ma in questo caso non mi ritrovo con i calcoli,non riesco a determinare le reazioni vincolari in A e in C.
Sai per caso come potrei procedere?
Però non ho capito molto come hai svolto l'esercizio,non per colpa tua,ma perchè il nostro prof non ci ha spiegato queste cose e affronta l'esercizio in maniera diversa.In genere risolve questo tipo di problemi applicando la I e II equazione cardinale della statica.
Ossia {F(e)+Φ(e)=0
{M(e)+ μ(e)=0
dove
F(e) e M(e) sono risultante e momento risultante delle forze esterne attive. Φ(e)e μ(e) sono risultante e momento risultante delle reazioni esterne vincolari.Imponendo quindi l'equilibrio alla traslazione e rotazione.
Da queste equazioni determina le reazioni vincolari e i parametri lagrangiani. Poi con i valori trovati ricava le configurazioni d'equilibrio. Io però forse sbaglio ad impostare questi sistemi,in quanto non so se applicarne uno per ogni asta e studiarle in maniera disgregata oppure applicarle all'intero sistema,ma in questo caso non mi ritrovo con i calcoli,non riesco a determinare le reazioni vincolari in A e in C.
Sai per caso come potrei procedere?
Le equazioni cardinali della statica vanno scritte per ciascuna parte rigida
del sistema. Infatti solo se il corpo è rigido sono sufficienti. Naturalmente se
ci sono vincoli interni al sistema articolato si deve tenere conto del 3° principio.
Ma, se nel tuo programma rientra la meccanica analitica, non capisco perché
non la si adoperi specie quando, come nel caso dell'esercizio, il sistema è
soggetto a sollecitazioni conservative in senso lagrangiano.
Procedendo con le equazioni cardinali, per l'asta AB vincolata a ruotare intorno
ad O, l'equazione pura per l'equilibrio è quella dei momenti calcolati rispetto
all'asse Z. Quindi:
Poiché
il suo momento rispetto a Z è nullo se e solo se la retta BD incide l'asse Z. Il che
avviene se e solo se B e D appartengono all'asse X.
Osserva poi che sull'asta CD la forza
momento è opposto a
rispetto a C sia nullo, ricordando che B e D debbono appartenere all'asse X,
anche C deve appartenere a X.
Concludendo, le posizioni di equilibrio sono:
Per il calcolo delle forze vincolari in corrispondenza di ciascuna delle 4 posizioni di
equilibrio, basta utilizzare la 1a cardinale.
Ti pare che possa andare come ragionamento? :)
del sistema. Infatti solo se il corpo è rigido sono sufficienti. Naturalmente se
ci sono vincoli interni al sistema articolato si deve tenere conto del 3° principio.
Ma, se nel tuo programma rientra la meccanica analitica, non capisco perché
non la si adoperi specie quando, come nel caso dell'esercizio, il sistema è
soggetto a sollecitazioni conservative in senso lagrangiano.
Procedendo con le equazioni cardinali, per l'asta AB vincolata a ruotare intorno
ad O, l'equazione pura per l'equilibrio è quella dei momenti calcolati rispetto
all'asse Z. Quindi:
[math]m\,g\frac{L}{2}\cos\alpha - m\,g\frac{L}{2}\cos\alpha + k\left[x_b\left(y_D - y_B\right) - y_B\left(x_D - x_B\right)\right] = 0\;.[/math]
Poiché
[math]d > 2L[/math]
, l'intensità della forza elastica è sicuramente non nulla, quindi il suo momento rispetto a Z è nullo se e solo se la retta BD incide l'asse Z. Il che
avviene se e solo se B e D appartengono all'asse X.
Osserva poi che sull'asta CD la forza
[math]\vec{F}[/math]
e il peso costituiscono una coppia il cui momento è opposto a
[math]\small \vec{\tau}_2[/math]
. Affinché il momento della forza elastica, calcolato rispetto a C sia nullo, ricordando che B e D debbono appartenere all'asse X,
anche C deve appartenere a X.
Concludendo, le posizioni di equilibrio sono:
[math]y_C = 0[/math]
, [math]\sin\alpha = \sin\beta = 0[/math]
. Per il calcolo delle forze vincolari in corrispondenza di ciascuna delle 4 posizioni di
equilibrio, basta utilizzare la 1a cardinale.
Ti pare che possa andare come ragionamento? :)
Si si ci ho messo un pò ma ho capito!Grazie mille per il tuo aiuto TeM!
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