Domanda su velocità-spazio-tempo!

[FlowerPower]

Buona sera... ho bisogno di un aiuto per questo problema, grazie mille in anticipo !!! :)

"Stefano ha a sua disposizione due combinazioni di mezzi pubblici per raggiungere il posto di lavoro. Può prendere il tram che va a 15 Km/h per i 5/6 del tragitto e poi l'autobus che va a 25 Km/h, oppure può prendere il tram per 1/3 del tragitto, la metropolitana che va a 60 Km/h per metà percorso e poi l'autobus. Supponendo (per assurdo) che non vi siano tempi d'attesa per i vari cambi di mezzo e sapendo che, con la seconda alternativa, Stefano può partire un quarto d'ora dopo, quanto dista la sua casa dal lavoro?"

[Ali Q]

Ciao, Flower Power! Il problema te lo avrei risolto, soltanto che i risultati non mi convincono molto. Saresti così gentile da postarmi le soluzioni, per favore, così posso controllare se ho fatto qualche errore. Grazie! Ciao!

[FlowerPower]

Certo ! Il risultato è 10 Km. Grazie mille comunque !!! :) Gentilissima.

[Ali Q]

Ti ringrazio. Ecco qui la soluzione:

Chiamo

[math]x[/math]

l'incognita del problema.

[math]x[/math]

rappresenta la distanza della casa di stefano dal luogo dove lavora. In altre parole è la lunghezza di tutto il tragitto che deve compiere.

Converto, per comodità, tutte le velocità in km al minuto.
Tram = 15 km/h = 15/60 km/min = 1/4 km/min
Autobus = 25 km/h = 25/60 Km/min = 5/12 km/min
metroplitana = 60 km/h = 60/60 km/min = 1 km/min

Analizziamo le due possibilità di percorso separatamente:

1) Per percorrere il primo tratto

[math](5/6 x)[/math]

, impiega un tempo che chiamiamo

[math]t'[/math]

.
Utilizzando le leggi del moto rettilineo uniforme posso dire che:

[math]t' = s/v = (5/6x)/(1/4) = 10/3 x[/math]

La restante parte

[math](x - 5/6x = 1/6 x)[/math]

viene percorsa in un tempo

[math]t'' [/math]

che possiamo stimare ancora una volta:

[math]t'' = s/v = (1/6 x)/(5/12) = 2/5 x[/math]

Sommati insieme questi due tempo danno il tempo totale impiegato da Stefano per raggiungere il posto di lavoro con la prima opzione.

[math]10/3 x + 2/5 x = T'[/math]

[math]50/15 x + 6/15 x = T'[/math]

[math]T' = 56/15 x [/math]

Vediamo adesso al seconda opzione:
2)Per percorrere il primo tratto

[math](1/3 x)[/math]

, impiega stavolta un tempo che chiamiamo

[math]t3[/math]

.
Utilizzando le leggi del moto rettilineo uniforme posso dire che:

[math]t3 = s/v = (1/3x)/(1/4) = 4/3 x[/math]

Per percorrere il secondo tratto (di lunghezza

[math]x/2[/math]

), impiega stavolta un tempo che chiamiamo

[math]t4[/math]

.
- Utilizzando le leggi del moto rettilineo uniforme posso dire che:

[math]t4 = s/v = (1/2x)/1 = 1/2 x[/math]

Il percorso che gli resta da attraversare nel terzo tratto è pari a:

[math]x - (x/3 +x/2) = 1/6 x[/math]

Abbiamo che:

[math]t5 = s/v = (x/6)/(5/12) = 2x/5[/math]

La somma di questi tre tempi mi fornisce il tempo

[math]T''[/math]

, pari a quello che impiega con la seconda soluzione:

[math]4/3 x + 1/2 x + 2/5 x = T''[/math]

[math]40 x/30 + 15/30 x + 12x/30 = T''[/math]

[math]67 x /30 = T''[/math]

Il testo ci dice infine che con la seconda alternativa stefano può partire un quarto d'ora dopo. Quindi....

[math]T'' = T' - 15 minuti.[/math]

[math]T'' = T' -15[/math]

Posso scrivere che:

[math]67 x /30 = T' -15[/math]

[math]67/30 x + 15 = T'[/math]

Posso eguagliare l'espressione del tempo nel primo tragitto e quella del tempo nel secondo tragitto.

[math]56/15 x = 67/30 x + 15[/math]

[math]112/30 x -67/30 x = 15[/math]

[math]45/30 x = 15[/math]

[math]x = 15*30/45 = 10 km[/math]

Fine del problema. Ciao, scusami se ci ho messo un po' di tenpo!

[Max 2433/BO]

Io invece ho utilizzato questo approccio:

Nel primo percorso si va a 15 km/h per i 5/6 del percorso e a 25 km/h nel restante 1/6

Nel secondo percorso, invece si va a 15 km/h per 1/3 del percorso e a 60 Km/h per 1/2 del percorso, ma 1/3 + 1/2 da 5/6 di percorso, per cui a 25 km/h si va sempre per 1/6 del percorso.

In definitiva, allora la differenza di tempo di percorrenza si ha solo nei 5/6 del tragitto ovvero quando si percorre la tratta a 15 + 60 km/h

Allora il tempo per percorrere 5/6 di percorso a 15 km/h sarà uguale al tempo per percorrere il medesimo percorso a 15 e 60 km/h + 15 minuti (ovvero 1/4 di ora).

Dato che t=s/v possiamo allora scrivere che:

(5/6)x/15 = (1/3)x/15 + (1/2)x/60 + 1/4, con x = percorso totale

ovvero riducendo tutte le frazioni

20x = 8x + 3x +90

9x = 90

x = 10 km

:hi

Massimiliano

[FlowerPower]

Grazie mille !!!! Gentilissimo.
Solo una cosa, io quando ho ridotto ho trovato numeri del tipo:
1/18 - 1/45 - 1/120 = 1/4
come hai fatto tu per trovarti 20x = 8x + 3x +90 ?
Grazie ancora ;)

Aggiunto 1 minuto più tardi:

Grazie mille per la risposta dettagliata e precisa ! Ti sono davvero grata! :)

[Max 2433/BO]

Allora il mcm delle 4 frazioni è 360 per cui:

20/360 - 8/360 - 3/360 = 90/360

moltiplichi entrambi i membri per 360 e il gioco è fatto.