Distributività del prodotto vettoriale

[Beauty__mary]

Ciao a tutti! Mi servirebbero entro stasera questi due problemi..
1) Dimostra che a x (b + c) = a x b + a x c.
2) Dimostra che (a+b)x c = a x c + b x c.
Sono tutti vettori.
Vi ringrazio anticipatamente :)

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Nel caso del prodotto vettoriale, vale la distributività rispetto alla somma
sia a sinistra che a destra. Io ti mostrerò quella a sinistra, tu ripercorrerai pra-
ticamente gli stessi passaggi per dimostrare quella a destra (completando così
l'esercizio che ti hanno assegnato).

Dati i vettori

[math]a,\,b,\,c \in \mathbb{R}^3\\[/math]

, se vogliamo dimostrare che

[math](a + b) \times c = a \times c + b \times c\\[/math]

dobbiamo far riferimento ad una proprietà del prodotto misto che
diamo per assodata:

[math]a \times b \cdot c = a \cdot b \times c\\[/math]

.

Considerando dunque un vettore arbitrario

[math]d \in \mathbb{R}^3\\[/math]

, scriviamo

[math][(a + b) \times c] \cdot d = \\[/math]

per la precedente proprietà

[math]= (a + b) \cdot (c \times d) = \\[/math]

per la distributività del prodotto scalare rispetto alla somma

[math]= a \cdot c \times d + b \cdot c \times d = \\[/math]

per la proprietà del prodotto misto introdotta in precedenza

[math]= a \times c \cdot d + b \times c \cdot d = \\[/math]

per la distributività del prodotto scalare rispetto alla somma

[math]= (a \times c + b \times c) \cdot d\\[/math]

.

In definitiva

[math][(a + b) \times c] \cdot d = (a \times c + b \times c) \cdot d\\[/math]

ed essendo il vettore

[math]d\\[/math]

arbitrario, concludiamo che

[math](a + b) \times c = a \times c + b \times c\\[/math]

c.v.d. ;)