Conservazione quantità moto ed energia cinetica

[NetFlyer]

Scusate ho un problema che non riesco proprio a risolvere:
un protone con velocità 500 m/s urta elasticamente un altro protone fermo. Il protone incidente viene diffuso ad un angolo theta di 60° dalla sua direzione iniziale. Quali saranno le velocità dei due protoni dopo l'urto e la direzione phi del protone urtato?

Io avevo pensato di imporre la conservazione della quantità di moto lungo gli assi e dell'energia cinetica:

mp*v1=mp*v1'*cos(theta)+ mp*v2'*cos(phi)
0=mp*v1'*sin(theta)- mp*v2'*sin(phi)
mp*v1^2=mp*v1'^2+mp*v2'^2

Ma i conti sono troppo difficile, è un sistema di tre equazioni in tre incognite, ma non è lineare. Poi ho pensato di usare il centro di massa, ma non so come fare. Potete aiutarmi? Grazie

[Pillaus]

Allora, supponiamo che il protone inizialmente si muove lungo l'asse x, la sua velocità iniziale sarà
v0

chiamiamo v1x, v2x, v1y e v2y le componenti delle velocità finali dei due protoni. Dato che le masse dei due protoni sono uguali, si semplificano in tutte le equazioni. Le equazioni di conservazione diventano

v0 = v1x + v2x (quant di moto lungo x, inizialmente il secondo protone è fermo per cui c'è solo v0)
0 = v1y + v2y (quant di moto lungo y, inizialmente non c'è moto in direzione y)
v0^2 = v1x^2 + v1y^2 + v2x^2 + v2y^2 (cons energia)

dopodiché, tu sai che v1y / v1x = tg 60° = radicedi 3, quindi v1y = v1x radicedi3
nonché (dalla seconda equazione) v1y = -v2y

togliamo un po' di incognite, scriviamo tutto in funzione di v1x e v2x

v0 = v1x + v2x
v0^2 = v1x^2 + 3v1x^2 + v2x^2 + 3v1x^2 = 7v1x^2 + v2x^2

Se elevi la prima eq al quadrato, ottieni v0^2 = v1x^2 + v2x^2 + 2 v1x v2x, e sottraendola alla seconda eq

0 = 6v1x^2 - 2 v1x v2x
quindi, siccome v1x diverso da 0

v2x = 3v1x
Sostituendo sopra ottieni v0 = v1x + 3v1x, quindi:

v1x = v0 /4
v2x = v0 3/4
v1y = v0 radicedi3 / 4
v2y = -v0 radicedi3 / 4

cioè, mentre il primo protone viene diffuso di 60°, il secondo viene diffuso di 30°.