Calcolo lavoro compiuto da una forza

[geek21]

Per favore potreste gentilmente spiegarmi tutti i passaggi necessari per risolvere questo esercizio? principalmente l'integrale, ovvero io so che devo utilizzare la formula

integrale[da x a y] F(x)dx

ma non ho ben capito come utilizzarla in questo caso.

grazie in anticipo a tutti :)

[Studente Anonimo]

In generale, ricorda che il lavoro di un campo

[math]\vec{F}:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3[/math]

lungo un arco
di curva

[math]\gamma[/math]

parametrizzata da

[math]\vec{r}:\mathbb{R} \to \mathbb{R}^3[/math]

definita da

[math]\vec{r}:=\vec{r}(t)[/math]

per

[math]t\in [a,\,b][/math]

è, per definizione, l'integrale di linea del lavoro elementare:

[math]W := \int_{\gamma} \vec{F} \cdot d\vec{s} = \int_a^b \vec{F}\left(\vec{r}(t)\right) \cdot \vec{r}\,'(t)\,dt \; .[/math]

A titolo d'esempio, dato il campo vettoriale

[math]\vec{F}(x,\,y,\,z)=(4y,\,2x^2,\,0)[/math]

e il
segmento rettilineo

[math]OB[/math]

di estremi

[math]O(0,\,0)[/math]

[math]B(10,\,4)[/math]

che sappiamo
giacere sulla retta di equazione cartesiana

[math]\small \frac{y - 0}{4 - 0}=\frac{x - 0}{10 - 0}[/math]

ossia

[math]\small y = \frac{2}{5}x[/math]

,
parametrizzandola come

[math]\vec{r}(t):=\left(t,\,\frac{2}{5}t,\,0\right)[/math]

per

[math]t \in [0,\,10][/math]

tramite
formuletta sopra scritta possiamo calcolare in maniera molto semplice il lavoro
compiuto da

[math]\vec{F}[/math]

lungo

[math]OB[/math]

:

[math]\small W = \int_0^{10} \left(\frac{8}{5}t,\,2t^2,\,0\right)\cdot\left(1,\,\frac{2}{5},\,0\right)\,dt = \int_0^{10} \left(\frac{8}{5}t + \frac{4}{5}t^2\right)\,dt = \frac{1040}{3} \; .[/math]

Naturalmente, per applicare la definizione appena illustrata qualora il percorso
consti di più di un arco di curva occorrerà parametrizzali tutti e quanti e sommare
tutti i singoli integrali. Sulla questione della conservatività di

[math]\vec{F}[/math]

è sufficiente
ricordare la definizione ... non la conosci?

[geek21]

sei stato molto d'aiuto nonchè comprensibile nella spiegazione grazie, in effetti l'ultima domanda potevo anche non metterla, comunque, io so che una forza è conservativa se il lavoro che compie è indipendente dal percorso, quindi ottenendo il lavoro su oab e su ob, se sono diversi allora è non conservativa..o almeno credo :p

[Studente Anonimo]

In realtà quello che hai scritto non è la definizione ma un teorema. In ogni modo, per come
è impostato l'esercizio credo sia esattamente ciò che il professore vuole che scriviate. ;)