Calcolare la differenza di potenziale tra il centro e la superficie di una sfera

[refranco]

salve avrei bisogno del vostro aiuto con questo esercizio di fisica.

Una carica di 1nC è distribuita all'interno di una sfera di raggio pari a 30cm in modo che la densità volumetrica di carica sia proporzionale alla distanza dal centro.
Calcolare la differenza di potenziale tra il centro e la superficie della sfera.

ho difficoltà nell'iniziare l'esercizio.
se mi potete aiutare a risolverlo.
grazie.

[mc2]

Per impostare l'esercizio devi ricavare la distribuzione di carica nel volume della sfera.


Sia R=0.30 m il raggio della sfera e q=1 nC la sua carica totale.


La densita` volumetrica e` proporzionale alla distanza r dal centro:

[math]\rho(r)=ar[/math]

Integrando la densita` sul volume della sfera si deve ottenere la carica totale:

[math]q=\int_0^R\rho(r)\,4\pi r^2 dr=4\pi a\int_0^Rr^3 dr=
\pi a R^4
[/math]

invertendo questa relazione di ottiene

[math]a[/math]

e quindi l'espressione della densita`:

[math]a=\frac{q}{\pi R^4}[/math]

,

[math]\rho(r)=\frac{q}{\pi R^4}r[/math]

Dopodiche` ottieni facilmente il campo elettrico con la legge di Gauss e, integrando, trovi il potenziale.

[refranco]

fin qui mi è tutto chiaro.

Quindi abbiamo che

[math]q(r)= \pi a r^4[/math]

in particolare quando r è uguale a R, si ha

[math]Q= q(R)= \pi a R^4[/math]

dove Q indica la carica della distribuzione; pertanto segue che

[math]q(r)=\frac{Q}{R^{4}}r^{4}[/math]

ora come applico la legge di gauss per trovare il campo elettrico e successivamente il potenziale.

se mi potresti dare una mano.
grazie.

[mc2]

Per simmetria il campo elettrico e` diretto radialmente.

Legge di Gauss: il flusso di E attraverso una superficie sferica di raggio r (

[math]\le R[/math]

) e` uguale alla carica elettrica contenuta dentro la superficie diviso

[math]\varepsilon_0[/math]

:

[math]4\pi r^2E(r)=\frac{1}{\varepsilon_0}
\int_0^r \rho(r')\,4\pi {r'}^2 dr'=
\frac{1}{\varepsilon_0} \int_0^r \frac{q}{\pi R^4}r'\,\,4\pi {r'}^2 dr'=
[/math]

[math]=\frac{4q}{\varepsilon_0R^4} \int_0^r {r'}^3 dr'=\frac{q\,r^4}{\varepsilon_0R^4}
[/math]

quindi

[math]E(r)=\frac{q\,r^2}{4\pi\varepsilon_0R^4}[/math]

[math]\Delta V=\int_0^R \vec{E}\cdot d\vec{r}=
\int_0^R \frac{q\,r^2}{4\pi\varepsilon_0R^4}dr=\frac{q}{12\pi\varepsilon_0R}
[/math]

[refranco]

va bene..
un'ultima dubbio come hai risolto l'integrale riguardo alla differenza di potenziale..
se me lo potresti scrivere.
grazie.

[mc2]

[math]\vec{E}[/math]

e

[math]\vec{r}[/math]

sono vettori paralleli, perche' il campo elettrico e` radiale. Il prodotto scalare e` semplicemente

[math]E\,dr[/math]

e poi basta integrare rispetto r

[refranco]

OK va bene..
grazie mille.