Breve problema sui VETTORI e versori

[offman]

ecco un problema trovato da un amico (di un amico XD) e che non riesco a risolvere, sto perdendoci la testa!

abbiamo i versori A e B con un angolo fra loro di 45°
abbiam poi V1 (il vettore 1) che vale 3A mentre V2 vale A-B.
Calcolare la somma dei versori ed esprimerli in base (A,B). Poi determina modulo e angolo che formano coi vettori V1 e V2.

grazie

Aggiunto 16 ore 48 minuti più tardi:

ciao
grazie per la risposta intanto.
comunque, fino al punto in cui trovi il modulo della somma, ci sono, ho capito (il mio problema era che non avevo capito che i versori equivalgono ad 1, poichè hanno modulo unitario).
non riesco a capire come hai trovato il cos finale, e cosa intendi per quei 2 simboli dopo "Infine per gli angoli si ha, ricordando che se *.* ".
grazie ciao

[ciampax]

Allora, scriviamo tutti i dati: sappiamo che, essendo

[math]a,\ b[/math]

versori e quindi

[math]|a|=|b|=1[/math]

e formando un angolo di

[math]45^\circ[/math]

,

[math]a\times b=\cos 45=\frac{\sqrt{2}}{2}[/math]

(il prodotto scalare).

Inoltre

[math]v_1=2a,\ v_2=a-b[/math]

. Ora, io credo che l'esercizio chieda di calcolare la somma dei vettori, e quindi

[math]v_1+v_2=3a+a-b=4a-b[/math]

(che è anche l'espressione voluta nella base). Inoltre, abbiamo per il modulo di questa somma che

[math]|4a-b|^2=(4a-b)\times(4a-b)=16|a|^2-8(a\times b)+|b|^2=16-8\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+1=17-4\sqrt{2}[/math]

e quindi

[math]|4a-b|=\sqrt{17-4\sqrt{2}}[/math]

. Infine per gli angoli si ha, ricordando che se

[math]w, u[/math]

sono due vettori allora

[math]\cos\theta=\frac{w\times u}{|w|\cdot |u|}[/math]

è il coseno dell'angolo compreso tra essi

[math]\cos\theta_1=\frac{v_1\times (4a-b)}{|v_1|\cdot|4a-b|}=\frac{12|a|^2-3(a\times b)}{3\cdot\sqrt{17-4\sqrt{2}}}=\frac{24-3\sqrt{2}}{6\cdot\sqrt{17-4\sqrt{2}}}[/math]

e in modo analogo per l'altro.