Breve chiarimento accelerazione centripeta?

[nadalita]

buon pomeriggio :)
per quanto riguarda l'accelerazione centripeta nel moto circolare uniforme, perchè e definita da omega per V? cioè io so che confondo l'arco con la corda, e poi dove va a finire il delta tempo? come arrivo a quella formula? grazie a tutti :)ciao, se non sono stata chiara scrivete

[ciampax]

Partiamo dalla costruzione dell'accelerazione centripeta: essa nasce a causa del fatto che il vettore velocità tangenziale, pur essendo costante in modulo, modifica la sua direzione e il suo verso. Considera il moto di un punto su una circonferenza di raggio

[math]R[/math]

: indichiamo con

[math]\theta(t)[/math]

la posizione angolare di tale punto. Fissati due istanti

[math]t_0,\ t_1[/math]

, nelle due posizioni angolari

[math]\theta_0=\theta(t_0),\ \theta_1=\theta(t_1)[/math]

il punto ha velocità tangenziale

[math]v_0=v(t_0)=v=v(t_1)=v_1[/math]

in modulo, mentre i vettori formano un angolo pari ad

[math]\alpha=\theta_1-\theta_0[/math]

. Ora, per definizione

[math]\vec{a}=\frac{\vec{v}_1-\vec{v}_0}{t_1-t_0}[/math]

Bisogna pertanto calcolare il vettore differenza. Considera il triangolo di lati

[math]v_1,\ v_0[/math]

e quello di lati

[math]O\theta_0,\ O\theta_1[/math]

(questo non è proprio un triangolo, in quanto il terzo lato è curvo): se il valore di

[math]\alpha[/math]

è molto piccolo, allora questo lato curvo approssima molto bene (almeno per similitudine) la differenza dei vettori velocità in modulo. Pertanto si ha

[math]\frac{|\vec{v}_1-\vec{v}_0|}{R\alpha}\approx\frac{v}{R}[/math]

Ma allora

[math]|\vec{a}|=\frac{|\vec{v}_1-\vec{v}_0|}{R\alpha}\cdot\frac{R\alpha}{t_1-t_0}\approx \frac{v}{R}\cdot R\cdot\frac{\theta_1-\theta_0}{t_1-t_0}=[/math]

essendo il moto uniforme e quindi

[math]v=\omega R,\qquad \omega=\frac{\theta_1-\theta_0}{t_1-t_0}[/math]

[math]=v\omega[/math]

Dimensionalmente si ha

[math]v=[L][T]^{-1},\ \omega=[T]^{-1}[/math]

e pertanto

[math]a=[L][T]^{-2}[/math]

che è una accelerazione.