Applicazioni delle derivate alla fisica

[scialisct]

ciao a tutti...sto preparando un esercizio per i miei esami di stato precisamente sull'argomento delle derivate e la loro applicazione alla fisica.
sapete risolvermi questo esercizio?

"un carrello scende lungo un piano inclinato di un angolo α rispetto al piano orizzontale, seguendo la legge s= 1/2 *g*senα*t²
a)se α è costante, trova la velocità e l'accelerazione in funzione del tempo;
b)se l'accelerazione è 4,9m/s², e sapendo che il carrello,lasciato cadere dal punto più in alto del piano arriva a terra con velocità di 19,6m/s, calcola la lunghezza s del piano."

la teoria dice che la velocità istantanea è la derivata rispetto al tempo della funzione che rappresenta la legge oraria( s').
l'accelerazione istantanea è la derivata seconda dello spazio rispetto al tempo, perchè è la derivata della velocità istantanea rispetto al tempo (s'').

mi sapete aiutare?

[ciampax]

a) Essendo

[math]s(t)=\frac{1}{2} g\sin\alpha\cdot t^2[/math]

la derivata rispetto al tempo di tale quantità risulta

[math]v(t)=\frac{1}{2} g\sin\alpha\cdot 2t=g\sin\alpha t[/math]

e la derivata seconda

[math]a(t)=g\sin\alpha[/math]

(che è costante)

2) dal momento che conosci il valore della aacelerazione (che indico con

[math]a=4,9\ m/s^2[/math]

) ottieni

[math]a=g\sin\alpha[/math]

, per cui, detta

[math]V=19,6\ m/s[/math]

la velocità finale

[math]V=a t\ \Rightarrow\ t=\frac{V}{a}[/math]

. Pertanto lo spazio percorso vale

[math]s=\frac{1}{2} a\cdot t^2=\frac{1}{2} a\cdot\frac{V^2}{a^2}=\frac{V^2}{2a}[/math]