Applicazioni della teoria degli errori
Ciao raga, potreste darmi un aiutino? Giusto per avere un po' più chiaro il procedimento da usare per problemi di questo tipo. Allora:
1) Calcola l'intervallo di attendibilità e la precisione del tempo impiegato a percorrere una determinata lunghezza. Dati:
1a misurazione (in sec): 1,723
2a misurazione (in sec): 1,726
3a misurazione (in sec): 1,730
4a misurazione (in sec): 1,725
5a misurazione (in sec): 1,724
6a misurazione (in sec): 1,721
7a misurazione (in sec): 1,729
8a misurazione (in sec): 1,733
9a misurazione (in sec): 1,733
10a misurazione (in sec): 1,727
2) Due serie di misure condotte sulla stessa grandezza hanno portato ai seguenti risultati:
L2=(1,2+-0,1)mm; L1=(1,1+-0,1)mm
Indica quale delle 2 serie di misure è la piuù precisa e spiega perchè.
3) Il volume di un oggetto metallico, dopo una serie di misure, è risultato V= (2,18+-0,04)cm^3 e la massa, misurata con una bilancia al centesimo di grammo, è di 17,15 g (mia domanda: è come se scrivessi 17,15+-0,01?). Determina la densità del metallo e l'incertezza del valore ottenuto.
Se possibile, rispondetemi in serata, se no al più tardi nel giro di 3/4/5 gg max. Ringrazio anticipatamente.
1) Calcola l'intervallo di attendibilità e la precisione del tempo impiegato a percorrere una determinata lunghezza. Dati:
1a misurazione (in sec): 1,723
2a misurazione (in sec): 1,726
3a misurazione (in sec): 1,730
4a misurazione (in sec): 1,725
5a misurazione (in sec): 1,724
6a misurazione (in sec): 1,721
7a misurazione (in sec): 1,729
8a misurazione (in sec): 1,733
9a misurazione (in sec): 1,733
10a misurazione (in sec): 1,727
2) Due serie di misure condotte sulla stessa grandezza hanno portato ai seguenti risultati:
L2=(1,2+-0,1)mm; L1=(1,1+-0,1)mm
Indica quale delle 2 serie di misure è la piuù precisa e spiega perchè.
3) Il volume di un oggetto metallico, dopo una serie di misure, è risultato V= (2,18+-0,04)cm^3 e la massa, misurata con una bilancia al centesimo di grammo, è di 17,15 g (mia domanda: è come se scrivessi 17,15+-0,01?). Determina la densità del metallo e l'incertezza del valore ottenuto.
Se possibile, rispondetemi in serata, se no al più tardi nel giro di 3/4/5 gg max. Ringrazio anticipatamente.
Risposte
1. Per contare le cifre significative di una misura occorre innanzitutto
individuare la cifra più significativa che sarà sempre la prima non nulla
a partire da sinistra, quindi individuare quella meno significativa che per
valori interi è la prima da destra diversa da zero mentre per valori con
parte frazionaria è l'ultima cifra a destra (anche se pari a zero). Le cifre
significative sono banalmente tutte quelle comprese tra le due appena
individuate.
2. In fisica, dato un campione di misure
si definisce intervallo di confidenza:
3. Data una misura
4. Data un misura
relativo
Tra due misure è più precisa quella con errore relativo minore. Inoltre,
ricordando che nelle addizioni/sottrazioni a sommarsi sono gli errori
assoluti e nelle moltiplicazioni/divisioni a sommarsi sono gli errori
relativi, a te risolvere tale problemino (la tua interpretazione è corretta).
5. Per l'arrotondamento di tali numeri, si comincia col considerare l'errore
che va arrotondato per eccesso in modo tale da avere un'unica cifra signi-
ficativa; di conseguenza si arrotonda per eccesso pure la media in modo
tale da avere lo stesso numero di cifre dopo la virgola del relativo errore.
individuare la cifra più significativa che sarà sempre la prima non nulla
a partire da sinistra, quindi individuare quella meno significativa che per
valori interi è la prima da destra diversa da zero mentre per valori con
parte frazionaria è l'ultima cifra a destra (anche se pari a zero). Le cifre
significative sono banalmente tutte quelle comprese tra le due appena
individuate.
2. In fisica, dato un campione di misure
[math]\small X := \{x_1,\,\dots,\,x_n\}[/math]
, si definisce intervallo di confidenza:
[math]\bar{x} \pm \frac{3}{\sqrt{n}}s_n[/math]
, dove: [math]\small \begin{aligned}\bar{x} := \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^n x_i, \; \; s_n^2 := \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^n \left(x_i - \bar{x}\right)^2, \; \; s_n := \sqrt{s_n^2}\end{aligned}\\[/math]
.3. Data una misura
[math]\small x_i \pm \delta[/math]
si definiscono, rispettivamente, accuratezza di [math]x_i[/math]
il numero di cifre significative alla destra della virgola e precisione di [math]x_i\\[/math]
il numero totale delle proprie cifre significative.4. Data un misura
[math]\small x \pm E_a(x)[/math]
si definiscono, rispettivamente, errore relativo
[math]\small E_r(x) := \frac{E_a(x)}{x}[/math]
ed errore percentuale[math]\small E_{\%}(x) := E_r(x)\cdot 100[/math]
.Tra due misure è più precisa quella con errore relativo minore. Inoltre,
ricordando che nelle addizioni/sottrazioni a sommarsi sono gli errori
assoluti e nelle moltiplicazioni/divisioni a sommarsi sono gli errori
relativi, a te risolvere tale problemino (la tua interpretazione è corretta).
5. Per l'arrotondamento di tali numeri, si comincia col considerare l'errore
che va arrotondato per eccesso in modo tale da avere un'unica cifra signi-
ficativa; di conseguenza si arrotonda per eccesso pure la media in modo
tale da avere lo stesso numero di cifre dopo la virgola del relativo errore.
Grazie intanto di avermi risposto; purtroppo non ho molto capito... Proverò a metterti giù qui i miei tentativi di risoluzione e poi vediamo.... se tu o qualcun altro avrete la possibilità di correggerli...
1)Prima di tutto ho preso il valore minimo e il valore massimo e ho diviso per 2 ottenendo 1,2727 e a questo valore ho messo +- 0,006 (errore assoluto ovvero grado di attendibilità).
Non era richiesto ma ho voluto trovare l'errore relativo e ho fatto 0,006:1,727 ottenendo 0,00347.... tradotto in percentuale= 0,34%
2) Sono entrambe di egual precisione in quanto entrambe hanno lo stesso intervallo di attendibilità e allo stello livello di cifre decimali
3) D=M/V per cui 15,15/2,18=circa 7,86 g/mm^3 dato provvisorio
Ora devo trovare i due errori relativi per poi sommarli giusto?
ErV=0,04/2,18=0.0183
ErM=0,01/17.15=0,0005
Pertanto: 0,0183+0,0050=0,0233
Indi per cui: D=7,86+-0,0233(g/cm^3)
ovvero D=7,86+-2,33%(g/cm^3)
Non so... ho provato.... Sicuramente avrò fatto errori, specie nelle cifre significative ed arrotondamenti....
Comunque aspetto con fiducia la correzione! Grazie.
1)Prima di tutto ho preso il valore minimo e il valore massimo e ho diviso per 2 ottenendo 1,2727 e a questo valore ho messo +- 0,006 (errore assoluto ovvero grado di attendibilità).
Non era richiesto ma ho voluto trovare l'errore relativo e ho fatto 0,006:1,727 ottenendo 0,00347.... tradotto in percentuale= 0,34%
2) Sono entrambe di egual precisione in quanto entrambe hanno lo stesso intervallo di attendibilità e allo stello livello di cifre decimali
3) D=M/V per cui 15,15/2,18=circa 7,86 g/mm^3 dato provvisorio
Ora devo trovare i due errori relativi per poi sommarli giusto?
ErV=0,04/2,18=0.0183
ErM=0,01/17.15=0,0005
Pertanto: 0,0183+0,0050=0,0233
Indi per cui: D=7,86+-0,0233(g/cm^3)
ovvero D=7,86+-2,33%(g/cm^3)
Non so... ho provato.... Sicuramente avrò fatto errori, specie nelle cifre significative ed arrotondamenti....
Comunque aspetto con fiducia la correzione! Grazie.
1. In base al campione di misure elencate, si ha
quindi segue che l'intervallo di confidenza (o di attendibilità, che
dir si voglia) è pari a
ressati all'intervallo di incertezza, invece, va calcolato l'errore
assoluto (o semidispersione):
quindi concludere scrivendo:
i casi la precisione, ossia il numero di cifre significative del valore
medio, è pari a
nisce errore relativo:
errore percentuale pari a
2. Date la misure
dal momento che
quindi
alla misura
3. Noti
metallico, la densità media è pari a
cordando che nelle moltiplicazioni/divisioni a sommarsi sono gli errori re-
lativi, calcoliamo l'errore relativo della densità:
luto (che è quello che ci interessa!!!!!):
Dunque, seguendo sempre le regole scritte nel mio post precedente, possiamo
concludere che
Spero sia sufficientemente chiaro. ;)
[math]\bar{x} = 1.7271\,s[/math]
, [math]s_{10}^2 = 0.0000167667\,s^2[/math]
, [math]\frac{3}{\sqrt{10}}s_{10} = 0.00388458\,s[/math]
e quindi segue che l'intervallo di confidenza (o di attendibilità, che
dir si voglia) è pari a
[math]\small (1.727 \pm 0.004)\,s[/math]
. Qualora fossimo inte-ressati all'intervallo di incertezza, invece, va calcolato l'errore
assoluto (o semidispersione):
[math]E_a := \frac{x_{max} - x_{min}}{2} = 0.006[/math]
e quindi concludere scrivendo:
[math](1.727 \pm 0.006)\,s[/math]
. In entrambi i casi la precisione, ossia il numero di cifre significative del valore
medio, è pari a
[math]4[/math]
. Nel caso dell'intervallo di incertezza, si defi-nisce errore relativo:
[math]\small E_r := \frac{E_a}{\bar{x}} \approx 0.0035[/math]
a cui corrisponde un errore percentuale pari a
[math]\small E_{\%} := E_r \cdot 100 \approx 0.35\%\\[/math]
.2. Date la misure
[math]\small L_1 = (1.1 \pm 0.1)\,mm[/math]
ed [math]\small L_2 = (1.2 \pm 0.2)\,mm[/math]
, dal momento che
[math]\small E_r(L_1) := \frac{0.1}{1.1} \approx 0.09[/math]
ed [math]\small E_r(L_2) := \frac{0.1}{1.2} \approx 0.08[/math]
e quindi
[math]E_r(L_2) < E_r(L_1)[/math]
, la misura [math]L_2[/math]
è più precisa rispetto alla misura
[math]L_1\\[/math]
.3. Noti
[math]\small V = (2.18 \pm 0.04)\,cm^3[/math]
ed [math]\small m = (17.15\pm 0.01)\,g[/math]
di un oggetto metallico, la densità media è pari a
[math]d := \frac{m}{V} \approx 7.86697\frac{g}{cm^3}[/math]
. Ora, ri-cordando che nelle moltiplicazioni/divisioni a sommarsi sono gli errori re-
lativi, calcoliamo l'errore relativo della densità:
[math]E_r(d) = \frac{E_a(m)}{m} + \frac{E_r(V)}{V} \approx 0.0189317[/math]
e quindi il proprio errore asso-luto (che è quello che ci interessa!!!!!):
[math]\\E_a(d) = E_r(d)\cdot d \approx 0.148935\frac{g}{cm^3}[/math]
. Dunque, seguendo sempre le regole scritte nel mio post precedente, possiamo
concludere che
[math]d = (7.9 \pm 0.1)\frac{g}{cm^3}\\[/math]
.Spero sia sufficientemente chiaro. ;)
Scusa il ritardo Tem. Sì, ti confermo, tutto più chiaro.
In questi gg, forse stasera o domani avrò a che fare con altri piccoli problemucci tipo questi 3.
Se ho difficoltà li lascio giù qui nel forum, così magari troverò ancora un aiutino.
Intanto, per questi 3 problemi, grazie mille per la cortesia e la disponibilità. :hi
In questi gg, forse stasera o domani avrò a che fare con altri piccoli problemucci tipo questi 3.
Se ho difficoltà li lascio giù qui nel forum, così magari troverò ancora un aiutino.
Intanto, per questi 3 problemi, grazie mille per la cortesia e la disponibilità. :hi
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