Aiuto con un problema sulle macchine termiche

[dimerazor]

Una macchina termica ciclica è costruita per operare scambi di calore fra tre sorgenti a temperature diverse T1,T2 e T3. La macchina assorbe calore dalla sorgente a temperatura T1 e cede una certa quantità di calore alle sorgenti T2 e T3 diviso in parti uguali tra i due.se T1=336 C e T2=585 C,si calcoli il massimo valore di T3 che rende ancora possibile operare la macchina con un rendimento del 10%.(il rendimento è qui riferito al calore ottenuto dalla sorgente a temperatura T1.) A 152 B 91.2 C 117 D 130. La risposta è E. ho provato in tanti modi ma nessuno mi restituisce 130. grazie in anticipo.

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Dato che il rendimento di ogni macchina è dato da

[math]\eta = 1 - \frac{|Q_f|}{|Q_c|}[/math]

con

[math]Q_c[/math]

il calore scambiato con la sorgente calda e

[math]Q_f\\[/math]

il calore scambiato con la sorgente fredda, si ha

[math]\eta = 1 - \frac{-Q}{Q_1} - \frac{-Q}{Q_1} = 1 + 2\frac{Q}{Q_1} \; .[/math]

Inoltre, considerando tale macchina ideale, deve essere

[math]\frac{Q_1}{T_1} + \frac{Q}{T_2} + \frac{Q}{T_3} = 0[/math]

da cui si ottiene

[math]\frac{Q}{Q_1} = - \frac{T_2\,T_3}{T_1\,(T_2 + T_3)} \; .[/math]

Siamo al traguardo: non rimane che imporre

[math]\eta \ge \frac{10}{100} \; \; \Leftrightarrow \; \; 1 - 2\frac{T_2\,T_3}{T_1\,(T_2 + T_3)} \ge \frac{1}{10}[/math]

che per

[math]T_1 = 609.15\,K[/math]

e

[math]T_2 = 858.15\,K\\[/math]

porge

[math]0\,K \le T_3 \le 402.775\,K \; \; \Rightarrow \; \; - 273.15\,°C \le T_3 \le 129.625\,°C \; .\\[/math]

In conclusione, il massimo valore di

[math]T_3[/math]

che rende ancora possibile
operare alla macchina con un rendimento del

[math]10\%[/math]

è circa pari a

[math]130\,°C[/math]

: risposta D. ;)