Aiuto!!! (85623)
come si fa la somma e differenza tra vettori sapendo che hanno lo stesso modulo che chiamiamo con m e formano un angolo da 60°?
Risposte
Essendo l'angolo tra i vettori un angolo particolare, possiamo procedere per deduzione per via geometrica (metodo del parallelogramma) o con il classico t. del coseno.
VIA GEOMETRICA.
Sfruttando il metodo del parallelogramma, otteniamo che il vettore somma è pari alla diagonale maggiore di un rombo.
Essendo l'angolo tra i due vettori pari a 60°, sappiamo che questo rombo è, in pratica costituito da due triangoli equilateri (ogni triangolo equilatero ha 3 angoli di 60°) con un lato in comune (che rappresenta la diagonale minore del rombo).
Il vettore somma risulterà allora pari al doppio dell'altezza di un singolo triangolo equilatero:
e quindi
Per considerare invece la differenza, dobbiamo considerare l'opposto di uno dei due vettori.
Visto che i vettori si trovano a 60° l'uno rispetto all'altro, con un vettore ruotato dalla parte opposta rispetto al caso precedente, i due vettori si troveranno tra loro a 180° - 60° cioè a 120°.
Sfruttando, anche in questo caso il metodo del parallelogramma si ottiene, in pratica il medesimo rombo di prima (infatti essendo gli angoli interni di un parallelogramma pari a 360°, togliendo due angoli da 120° si ottengono due angoli da 60°), solo che in questo caso, il vettore che ci rappresenterà la differenza dei vettori di partenza sarà la diagonale minore.
In questo caso, la diagonale minore non è altro che il doppio del cateto minore di un triangolo rettangolo particolare, con angoli di 90°, 60° e 30°, formato da un lato del rombo (ipotenusa), metà diagonale maggiore (cateto maggiore) e metà della diagonale minore (cateto minore).
Essendo un triangolo rettangolo particolare, il valore del cateto minore è, in questo caso, pari a metà dell'ipotenusa, e cioè metà del lato del rombo.
Di conseguenza, la differenza di due vettori uguali, posti tra loro a 120° l'uno dall'altro, è pari a uno dei due vettori di partenza:
... a breve il metodo con il t. dei coseni
Aggiunto 17 minuti più tardi:
TEOREMA DEL COSENO
Somma (
Differenza (
... Stessi risultati (ovviamente) che abbiamo ottenuto per via geometrica.
:hi
Massimiliano
Aggiunto 21 ore 24 minuti più tardi:
Nota alla risoluzione per via geometrica:
Quando trattiamo la differenza dei vettori, visto che, come ti ho scritto, il parallelogramma dei vettori è il medesimo rombo usato per la somma, solo che, in questo caso, il vettore che rappresenta la differenza dei vettori è la diagonale minore.
In pratica, volendo semplificare al massimo, il problema è già risolto perchè all'inizio avevamo detto che è un rombo particolare costruito con due triangoli equilateri (triangoli con angoli tutti pari a 60°) con un lato in comune che ne rappresenta, appunto la diagonale minore per cui:
a - b = m
:hi
VIA GEOMETRICA.
Sfruttando il metodo del parallelogramma, otteniamo che il vettore somma è pari alla diagonale maggiore di un rombo.
Essendo l'angolo tra i due vettori pari a 60°, sappiamo che questo rombo è, in pratica costituito da due triangoli equilateri (ogni triangolo equilatero ha 3 angoli di 60°) con un lato in comune (che rappresenta la diagonale minore del rombo).
Il vettore somma risulterà allora pari al doppio dell'altezza di un singolo triangolo equilatero:
[math] a \;+\;b = 2 \;.\; \sqrt {a^2 \;-\; \left( \frac {b}{2} \right)^2} [/math]
e quindi
[math] a \;+\;b = 2 \;.\; \sqrt {m^2 \;-\; \left( \frac {m}{2} \right)^2} [/math]
[math] a \;+\;b = 2 \;.\; \sqrt {m^2 \;-\; \frac {m^2}{4}} [/math]
[math] a \;+\;b = 2 \;.\; \sqrt {\frac {3m^2}{4}} [/math]
[math] a \;+\;b = \frac {2}{2} \;.\; m \;.\; \sqrt {3} [/math]
[math] a \;+\;b = m \;.\; \sqrt {3} [/math]
Per considerare invece la differenza, dobbiamo considerare l'opposto di uno dei due vettori.
Visto che i vettori si trovano a 60° l'uno rispetto all'altro, con un vettore ruotato dalla parte opposta rispetto al caso precedente, i due vettori si troveranno tra loro a 180° - 60° cioè a 120°.
Sfruttando, anche in questo caso il metodo del parallelogramma si ottiene, in pratica il medesimo rombo di prima (infatti essendo gli angoli interni di un parallelogramma pari a 360°, togliendo due angoli da 120° si ottengono due angoli da 60°), solo che in questo caso, il vettore che ci rappresenterà la differenza dei vettori di partenza sarà la diagonale minore.
In questo caso, la diagonale minore non è altro che il doppio del cateto minore di un triangolo rettangolo particolare, con angoli di 90°, 60° e 30°, formato da un lato del rombo (ipotenusa), metà diagonale maggiore (cateto maggiore) e metà della diagonale minore (cateto minore).
Essendo un triangolo rettangolo particolare, il valore del cateto minore è, in questo caso, pari a metà dell'ipotenusa, e cioè metà del lato del rombo.
Di conseguenza, la differenza di due vettori uguali, posti tra loro a 120° l'uno dall'altro, è pari a uno dei due vettori di partenza:
[math] a \;-\; b \;=\; 2 \;.\; \frac {m}{2} \;=\; m [/math]
... a breve il metodo con il t. dei coseni
Aggiunto 17 minuti più tardi:
TEOREMA DEL COSENO
[math] a \;+\; b = \sqrt {a^2 \;+\; b^2 \;-\; 2ab \;.\; \cos {(180 \;-\; \alpha)}} [/math]
Somma (
[math] \alpha \;=\; 60^\circ [/math]
)[math] a \;+\; b = \sqrt {m^2 \;+\; m^2 \;-\; 2 \;.\; (m \;.\; m) \;.\; \cos {(180 \;-\; 60)}} [/math]
[math] a \;+\; b = \sqrt {2m^2 \;-\; 2m^2) \;.\; \cos {120}} [/math]
[math] a \;+\; b = \sqrt {2m^2 \;-\; 2m^2 \;.\; \left( \;-\;\frac {1}{2} \right)} [/math]
[math] a \;+\; b = \sqrt {2m^2 \;+\; m^2} [/math]
[math] a \;+\; b = \sqrt {3m^2} \;=\; m \;.\; \sqrt {3} [/math]
Differenza (
[math] \alpha \;=\; 120^\circ [/math]
)[math] a \;-\; b = \sqrt {m^2 \;+\; m^2 \;-\; 2 \;.\; (m \;.\; m) \;.\; \cos {(180 \;-\; 120)}} [/math]
[math] a \;-\; b = \sqrt {2m^2 \;-\; 2m^2 \;.\; \cos {60}} [/math]
[math] a \;-\; b = \sqrt {2m^2 \;-\; 2m^2 \;.\; \frac {1}{2}} [/math]
[math] a \;-\; b = \sqrt {2m^2 \;-\; m^2} [/math]
[math] a \;-\; b = \sqrt {m^2} \;=\; m [/math]
... Stessi risultati (ovviamente) che abbiamo ottenuto per via geometrica.
:hi
Massimiliano
Aggiunto 21 ore 24 minuti più tardi:
Nota alla risoluzione per via geometrica:
Quando trattiamo la differenza dei vettori, visto che, come ti ho scritto, il parallelogramma dei vettori è il medesimo rombo usato per la somma, solo che, in questo caso, il vettore che rappresenta la differenza dei vettori è la diagonale minore.
In pratica, volendo semplificare al massimo, il problema è già risolto perchè all'inizio avevamo detto che è un rombo particolare costruito con due triangoli equilateri (triangoli con angoli tutti pari a 60°) con un lato in comune che ne rappresenta, appunto la diagonale minore per cui:
a - b = m
:hi
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