The art and craft of problem solving
Mi pare che alcuni forumisti abbiano letto il libro di Zeitz, "The art and craft of problem solving". Vorrei dunque un parere su alcune questioni.
I problemi sono difficili? Oppure il libro è per principianti e i problemi sono banali? Anche un lettore "abbastanza esperto" può divertirsi o addirittura imparare? Sopratutto: i problemi sono interessanti? O sono cavolate, tipo disuguaglianze magari difficili ma orripilanti e insensate, o tipo problemi da "oliforum", che uno, pur amando la matematica, li legge e dice: "Ma a me che me ne frega di trovare tutte le stupidissime funzioni che soddisfano certe stupidissime proprietà fuori dal mondo!"
I problemi sono difficili? Oppure il libro è per principianti e i problemi sono banali? Anche un lettore "abbastanza esperto" può divertirsi o addirittura imparare? Sopratutto: i problemi sono interessanti? O sono cavolate, tipo disuguaglianze magari difficili ma orripilanti e insensate, o tipo problemi da "oliforum", che uno, pur amando la matematica, li legge e dice: "Ma a me che me ne frega di trovare tutte le stupidissime funzioni che soddisfano certe stupidissime proprietà fuori dal mondo!"
Risposte
Lo sto leggendo nel (poco) tempo libero.
I problemi variano molto in difficolta'. Alcuni sono risolvibili in poco
tempo, altri sono presi direttamente dal Putnam e dunque ti lascio immaginare...
Per ora il livello Putnam e' fuori dalla mia portata (ma magari tu ti diverti).
Secondo me non e' molto adatto ad un esperto, nel senso che
i problemi si trovano facilmente anche in rete nel sito della AMS o
delle IMO o del Putnam. E' un libro importante per chi non
sa ancora sfruttare al meglio determinate tecniche, ad esempio funzioni generatrici
pigeonhole (avanzato, non le solite stupidate), simmetria, pairing ecc ecc...
In ogni caso sono sempre problemi sul genere dell'OliForum, concordo che sotto l'aspetto
matematico hanno un interesse veramente limitato, sono da prendere come palestra
per l'originalita' del ragionamento. Che poi, imho, e' quello che fa la differenza...
Se vuoi ti posto qualche problema preso un po' a caso, quale argomento ti interessa ?
I problemi variano molto in difficolta'. Alcuni sono risolvibili in poco
tempo, altri sono presi direttamente dal Putnam e dunque ti lascio immaginare...
Per ora il livello Putnam e' fuori dalla mia portata (ma magari tu ti diverti).
Secondo me non e' molto adatto ad un esperto, nel senso che
i problemi si trovano facilmente anche in rete nel sito della AMS o
delle IMO o del Putnam. E' un libro importante per chi non
sa ancora sfruttare al meglio determinate tecniche, ad esempio funzioni generatrici
pigeonhole (avanzato, non le solite stupidate), simmetria, pairing ecc ecc...
In ogni caso sono sempre problemi sul genere dell'OliForum, concordo che sotto l'aspetto
matematico hanno un interesse veramente limitato, sono da prendere come palestra
per l'originalita' del ragionamento. Che poi, imho, e' quello che fa la differenza...
Se vuoi ti posto qualche problema preso un po' a caso, quale argomento ti interessa ?
Mi ritrovo con vl4d. Se sei già ad un certo
livello, allora ti consiglio Problem solving
through problems di Larson, che tratta gli
stessi argomenti ma in modo un pò più
"adulto".
livello, allora ti consiglio Problem solving
through problems di Larson, che tratta gli
stessi argomenti ma in modo un pò più
"adulto".
Tra l'altro il Larson si trova sul mulo 
Già, lo Zeitz no, invece, per quello che chiedevo 
Comunque, ragazzi, grazie mille per i vostri preziosi consigli.
@vld4. Mi piacerebbe se postassi un Putnam o un problema di difficoltà simile sulla combinatoria (non ricorrenze, però), tanto per farmi un'idea.
Comunque, ragazzi, grazie mille per i vostri preziosi consigli.
@vld4. Mi piacerebbe se postassi un Putnam o un problema di difficoltà simile sulla combinatoria (non ricorrenze, però), tanto per farmi un'idea.
Sempre dallo Zeitz
(Putnam 1993)
Sia $P_n$ l'insieme dei sottoinsiemi di ${1,..,n}$. Sia $c(n,m)$ il numero di funzioni $f:P_n \rightarrow {1,..,m}$
t.c. $f(A \cap B) = min{f(A), f(B)}$.
Provare che $c(n,m) = \sum_{j=1}^m j^n$
(Zeitz)
Sono dati $n$ punti su una circonferenza e le corde che connettono ogni paia di punti.
Se non vi sono tre corde che si incontrano in un punto, quanti punti di intersezione ci sono?
Devo dire pero' che di combinatoria non c'e' tantissima roba...
Ti consiglio l'ottimo:
http://www.amazon.com/102-Combinatorial ... 787&sr=8-1
niente mulo...
(Putnam 1993)
Sia $P_n$ l'insieme dei sottoinsiemi di ${1,..,n}$. Sia $c(n,m)$ il numero di funzioni $f:P_n \rightarrow {1,..,m}$
t.c. $f(A \cap B) = min{f(A), f(B)}$.
Provare che $c(n,m) = \sum_{j=1}^m j^n$
(Zeitz)
Sono dati $n$ punti su una circonferenza e le corde che connettono ogni paia di punti.
Se non vi sono tre corde che si incontrano in un punto, quanti punti di intersezione ci sono?
Devo dire pero' che di combinatoria non c'e' tantissima roba...
Ti consiglio l'ottimo:
http://www.amazon.com/102-Combinatorial ... 787&sr=8-1
niente mulo...
Ti posto 2 problemi anche di questo:
Tra gli introductory:
Sia $n > 1$ e dispari, provare che
$((n),(1)), ((n),(2)), ..., ((n),((n-1)/2))$
contiene un numero dispari di numeri dispari.
Tra gli Advanced:
Un insieme $T$ si dice pari se ha un numero pari di elementi.
Sia $n$ un intero positivo pari e siano $S_1, S_2,..., S_n$ sottoinsiemi pari
di ${1, 2,..., n}$.
Mostrare che esistono $i$ e $j$, $1<=i
Anche qui il livello varia molto... il primo e' semplice, il secondo e' fuori dalla mia portata
Tra gli introductory:
Sia $n > 1$ e dispari, provare che
$((n),(1)), ((n),(2)), ..., ((n),((n-1)/2))$
contiene un numero dispari di numeri dispari.
Tra gli Advanced:
Un insieme $T$ si dice pari se ha un numero pari di elementi.
Sia $n$ un intero positivo pari e siano $S_1, S_2,..., S_n$ sottoinsiemi pari
di ${1, 2,..., n}$.
Mostrare che esistono $i$ e $j$, $1<=i
Anche qui il livello varia molto... il primo e' semplice, il secondo e' fuori dalla mia portata
Ok, grazie. Il Putnam e' carino, cercavo proprio problemi di questo tipo. E anche quest'ultimo problema e' challenging.
Sistemiamo il Putnam, davvero un bel problema... interessante dal punto di vista matematico.
Fissiamo $n,m$ e consideriamo le funzioni di $c(n,m)$ il cui valore massimo è $H$.
Per $1<=k<=H$, consideriamo l'insieme $S_k={A\in P_n | f(A)>=k}$.
La cosa davvero interessante e' che ciascun $S_k$ e' un filtro sull'insieme ${1,2,...,n}$.
Infatti per ogni insieme $X\in P_n$, $f(X)=f(X\cap {1,2,...,n})=min{f(X),f({1,2,...,n})}<=f({1,2,..,n})$, e dunque $f({1,2,..,n})=H$, e quindi ${1,2,...,n}\in S_k$.
Inoltre se $A,B\in S_k$, allora $f(A\cap B)=min{f(A),f(B)}>=k$, e dunque $A\cap B\in S_k$.
Inoltre se $A\in S_k$ e $A\sube B$, allora $k<=f(A)=f(A\cap B)=min{f(A),f(B)}<=f(B)$ e dunque $B\in S_k$.
Inoltre data una sequenza $P_n=S_1,S_2,...,S_{H}$ tale che per ogni $i$, $S_i\supe S_{i+1}$ e $S_i$ e' un filtro su ${1,2,..,n}$, possiamo associare ad essa una e una sola funzione di $c(n,m)$ il cui valore massimo e' $H$. Basta definire per $x
Basta dunque, per contare le funzioni di $c(n,m)$ il cui valore massimo è $H$, contare le sequenze $P_n=S_1,S_2,...,S_{H}$ tale che per ogni $i$, $S_i\supe S_{i+1}$ e $S_i$ e' un filtro su ${1,2,..,n}$. Questo si puo' fare facilmente, osservando che un filtro $F$ su un insieme finito e' univocamente determinato dal suo elemento minimale (rispetto alla relazione $\sube$).
Dunque si tratta di contare le sequenze $O/=T_1,T_2,....,T_H$ di elementi di $P_n$ tali che che per ogni $i
Tale calcolo si puo' rappresentare come il conto delle disposizioni di $n$ elementi in $H$ "buche", che si trova facilmente essere $H^n$.
Concludiamo infine che $c(n,m)=sum_(i=1)^m i^n$
Q.E.D.
Fissiamo $n,m$ e consideriamo le funzioni di $c(n,m)$ il cui valore massimo è $H$.
Per $1<=k<=H$, consideriamo l'insieme $S_k={A\in P_n | f(A)>=k}$.
La cosa davvero interessante e' che ciascun $S_k$ e' un filtro sull'insieme ${1,2,...,n}$.
Infatti per ogni insieme $X\in P_n$, $f(X)=f(X\cap {1,2,...,n})=min{f(X),f({1,2,...,n})}<=f({1,2,..,n})$, e dunque $f({1,2,..,n})=H$, e quindi ${1,2,...,n}\in S_k$.
Inoltre se $A,B\in S_k$, allora $f(A\cap B)=min{f(A),f(B)}>=k$, e dunque $A\cap B\in S_k$.
Inoltre se $A\in S_k$ e $A\sube B$, allora $k<=f(A)=f(A\cap B)=min{f(A),f(B)}<=f(B)$ e dunque $B\in S_k$.
Inoltre data una sequenza $P_n=S_1,S_2,...,S_{H}$ tale che per ogni $i$, $S_i\supe S_{i+1}$ e $S_i$ e' un filtro su ${1,2,..,n}$, possiamo associare ad essa una e una sola funzione di $c(n,m)$ il cui valore massimo e' $H$. Basta definire per $x
Basta dunque, per contare le funzioni di $c(n,m)$ il cui valore massimo è $H$, contare le sequenze $P_n=S_1,S_2,...,S_{H}$ tale che per ogni $i$, $S_i\supe S_{i+1}$ e $S_i$ e' un filtro su ${1,2,..,n}$. Questo si puo' fare facilmente, osservando che un filtro $F$ su un insieme finito e' univocamente determinato dal suo elemento minimale (rispetto alla relazione $\sube$).
Dunque si tratta di contare le sequenze $O/=T_1,T_2,....,T_H$ di elementi di $P_n$ tali che che per ogni $i
Tale calcolo si puo' rappresentare come il conto delle disposizioni di $n$ elementi in $H$ "buche", che si trova facilmente essere $H^n$.
Concludiamo infine che $c(n,m)=sum_(i=1)^m i^n$
Q.E.D.
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