Testi adatti per alcuni teoremi di calcolo vettoriale
Salve a tutti,
ho trovato numerosissimi testi circa le dimostrazioni di teoremi come Dini,Schwartz,divergenza,caratterizzazione dei punti critici vincolati secondo Lagrange e Taylor in 2 o 3 dimensioni. Non riesco invece a trovare delle dimostrazioni più generalizzate in dimensione n.Qualcuno può cortesemente allegarmi qualche link o libri di testo a riguardo? Grazie.
ho trovato numerosissimi testi circa le dimostrazioni di teoremi come Dini,Schwartz,divergenza,caratterizzazione dei punti critici vincolati secondo Lagrange e Taylor in 2 o 3 dimensioni. Non riesco invece a trovare delle dimostrazioni più generalizzate in dimensione n.Qualcuno può cortesemente allegarmi qualche link o libri di testo a riguardo? Grazie.
Risposte
Il teorema della divergenza in realtà vale solo per i casi in cui hai visto in quando è un caso particolare del teorema di Stokes generalizzato http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Stokes .
Il teorema di Dini prende il nome di teorema delle funzioni implicite http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_de ... _implicite
Il teorema di Schwartz non è così difficile da generalizzare.
Per il resto il baby Rudin (principi di analisi matematica in italiano) li contiene tutti.
Il teorema di Dini prende il nome di teorema delle funzioni implicite http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_de ... _implicite
Il teorema di Schwartz non è così difficile da generalizzare.
Per il resto il baby Rudin (principi di analisi matematica in italiano) li contiene tutti.
Avrai consultato libri per i nuovi ordinamenti...
Prendine alcuni pre-riforma, cioè editi prima del 1998, e troverai quel che ti serve (a parte il teorema di Stokes, che per essere formalizzato adeguatamente in dimensione maggiore ha forse bisogno di nozioni superiori).
Prendine alcuni pre-riforma, cioè editi prima del 1998, e troverai quel che ti serve (a parte il teorema di Stokes, che per essere formalizzato adeguatamente in dimensione maggiore ha forse bisogno di nozioni superiori).
Ho modificato un po' il titolo per fare capire meglio l'argomento specifico.
Effettivamente è un problema che mi sono posto pure io. Il fatto è che mentre tutte le idee fondamentali si possono dare tutte in dimensione 2 o 3, in dimensione \(n\) potrebbe servire un po' di machinery matematica in più, e darla in un testo introduttivo finirebbe con l'essere fuorviante. Volendo riassumere io direi che il grosso problema della dimensione \(n\) è che non si può definire il prodotto vettoriale, e quindi neanche l'operatore rotore, e questi oggetti intervengono in alcune definizioni e teoremi da te citati (non in tutti). Come dice vict, la soluzione sta nel formalismo delle forme differenziali, che però è un po' lungo da apprendere perché a sua volta richiede qualche base di geometria differenziale. Un testo che fa proprio questo lavoro (oltre al baby Rudin che però non mi sento di consigliare per questo scopo) è il Fusco - Marcellini - Sbordone volume 2, ultimo capitolo. Ti conviene aspettare però, più avanti seguirai dei corsi di geometria differenziale e allora sarà per te più facile affrontare tali questioni.
Comunque alcuni dei teoremi che citi si generalizzano senza sforzo ulteriore alla dimensione \(n\). E' il caso del teorema di Schwarz [size=85](*)[/size], della formula di Taylor e del teorema dei moltiplicatori di Lagrange. Anche il teorema del Dini vale in dimensione arbitraria ma la dimostrazione è un po' più laboriosa e oscura, di solito si passa dal teorema delle contrazioni invece di fare un ragionamento geometrico come in dimensione 2. Per queste cose ci sono molte fonti a tua disposizione: puoi usare il libro già citato, oppure il Salsa-Pagani volume 1, capitolo: "Calcolo differenziale 2" (molto ben fatto a mio avviso), o anche un libro che a me piace molto, Undergraduate analysis di Serge Lang, capitoli "Functions in n-space", "The implicit function theorem" e anche "Derivatives in vector spaces" per un approccio astratto alla formula di Taylor.
PS: Ho scritto contemporaneamente a Gugo. Naturalmente tutti i libri italiani che ho citato sono da intendersi nell'edizione pre-riforma, non conosco le nuove edizioni ma evidentemente questo materiale è stato accuratamente tagliato via.
_____________
(*) Da non confondere con Laurent Schwartz.
http://it.wikipedia.org/wiki/Hermann_Schwarz
http://it.wikipedia.org/wiki/Laurent_Schwartz
Effettivamente è un problema che mi sono posto pure io. Il fatto è che mentre tutte le idee fondamentali si possono dare tutte in dimensione 2 o 3, in dimensione \(n\) potrebbe servire un po' di machinery matematica in più, e darla in un testo introduttivo finirebbe con l'essere fuorviante. Volendo riassumere io direi che il grosso problema della dimensione \(n\) è che non si può definire il prodotto vettoriale, e quindi neanche l'operatore rotore, e questi oggetti intervengono in alcune definizioni e teoremi da te citati (non in tutti). Come dice vict, la soluzione sta nel formalismo delle forme differenziali, che però è un po' lungo da apprendere perché a sua volta richiede qualche base di geometria differenziale. Un testo che fa proprio questo lavoro (oltre al baby Rudin che però non mi sento di consigliare per questo scopo) è il Fusco - Marcellini - Sbordone volume 2, ultimo capitolo. Ti conviene aspettare però, più avanti seguirai dei corsi di geometria differenziale e allora sarà per te più facile affrontare tali questioni.
Comunque alcuni dei teoremi che citi si generalizzano senza sforzo ulteriore alla dimensione \(n\). E' il caso del teorema di Schwarz [size=85](*)[/size], della formula di Taylor e del teorema dei moltiplicatori di Lagrange. Anche il teorema del Dini vale in dimensione arbitraria ma la dimostrazione è un po' più laboriosa e oscura, di solito si passa dal teorema delle contrazioni invece di fare un ragionamento geometrico come in dimensione 2. Per queste cose ci sono molte fonti a tua disposizione: puoi usare il libro già citato, oppure il Salsa-Pagani volume 1, capitolo: "Calcolo differenziale 2" (molto ben fatto a mio avviso), o anche un libro che a me piace molto, Undergraduate analysis di Serge Lang, capitoli "Functions in n-space", "The implicit function theorem" e anche "Derivatives in vector spaces" per un approccio astratto alla formula di Taylor.
PS: Ho scritto contemporaneamente a Gugo. Naturalmente tutti i libri italiani che ho citato sono da intendersi nell'edizione pre-riforma, non conosco le nuove edizioni ma evidentemente questo materiale è stato accuratamente tagliato via.
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(*) Da non confondere con Laurent Schwartz.
http://it.wikipedia.org/wiki/Hermann_Schwarz
http://it.wikipedia.org/wiki/Laurent_Schwartz
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