Gli Ottetti di Cayley e le Stringhe
Di recente tra le mie letture è caduto anche un articolo su Le Scienze sul rapporto tra l'algebra di Cayley e la teoria delle Stringhe, quindi ho pensato fosse interessante farne un post sul mio blog:
http://paginedinatura.wordpress.com/201 ... -stringhe/
Spero interessi a qualcuno.
Buon Lunedì a tutti!
http://paginedinatura.wordpress.com/201 ... -stringhe/
Spero interessi a qualcuno.
Buon Lunedì a tutti!
Risposte
In tutta onestà non sono un fan dela teoria delle stringhe(*), però leggere un articolo a livello dummies sulle stringhe non mi dispiace.
Grazie.
§§§
(*) A differenza del mio relatore, tra l'altro stringhista di un certo spessore; lo scrivo poiché tanto gliel'ho confessato (non in ginocchio però)!
Grazie.
§§§
(*) A differenza del mio relatore, tra l'altro stringhista di un certo spessore; lo scrivo poiché tanto gliel'ho confessato (non in ginocchio però)!
Grazie per l'apprezzamento!
Se ti scappasse un commento anche sul blog... non frenarti!
Se ti scappasse un commento anche sul blog... non frenarti!
Quell'articolo dice tutto e niente! 
Praticamente, è una dichiarazione stringata buona ad affumicare la salute: mi aspettavo qualche dettaglio in più. -_-
Praticamente, è una dichiarazione stringata buona ad affumicare la salute: mi aspettavo qualche dettaglio in più. -_-
Infatti è un blog di un curioso non di un ricercatore/studioso di matematica. Credo che già parlandone a qualcuno sia venuto voglia di approfondire e cercare di capirne di più e questo mi basta.
Se poi hai qualche approfondimento da fare se ti va possiamo aggiungerne a quel post.
Se poi hai qualche approfondimento da fare se ti va possiamo aggiungerne a quel post.
OK, mi limito a un particolare semplice: perché i quaternioni non sono "numeri complessi con tre distinte unità immaginarie"? In che senso non vale la proprietà associativa del prodotto? Una semplice spiegazione la si può trarre proprio dalla loro elementare interpretazione geometrica!
P.S.: Ma quell'articolo è tuo oppure no?
P.S.: Ma quell'articolo è tuo oppure no?
Si, tratto da un articolo di Baez.
Comunque questo articolo non è un articolo sui quaternioni, ma sul possibile legame tra Ottetti e Stringhe.
Comunque questo articolo non è un articolo sui quaternioni, ma sul possibile legame tra Ottetti e Stringhe.
Scusa allora: uno che non sa cosa siano questi ottioni (od ottetti) che fa: si spara?
Non è per critica, ma è per esporre con chiarezza anche ai meno informati!
Non è per critica, ma è per esporre con chiarezza anche ai meno informati!
"j18eos":
Scusa allora: uno che non sa cosa siano questi ottioni (od ottetti) che fa: si spara?
Non è per critica, ma è per esporre con chiarezza anche ai meno informati!
Hai pienamente ragione però non credo nei post fiume e specialmente in quelli che in qualche modo hanno inevitabilmente e involontariamente un tono da professore. Quello che invece credo è che la curiosità fa scaturire l'interesse e l'interesse l'approfondimento. Ecco perchè ho messo nei riferimenti quanto necessario per approfondire.
Credo che già parlandone a qualcuno sia venuto voglia di approfondire e cercare di capirne di più e questo mi basta.
Quello che invece credo è che la curiosità fa scaturire l'interesse e l'interesse l'approfondimento.
Questo e' senza dubbio vero, peccato che pero' l'articolo sia scritto piuttosto male (secondo un criterio che reputa "scritto bene" quello che riuscirebbe a capire con un po' di impegno una persona ignara dell'argomento).
Faccio degli esempi di parti che si possono migliorare molto:
Nel 1835 il matematico-fisico William Rowan Hamilton scoprì che è possibile scrivere i numeri complessi come coppie del tipo (a, b) al posto della notazione di Argand ‘a + ib’. Questo permette di mantenere l’interpretazione geometrica rendendo però più facile sommare e sottrarre numeri complessi. Da questa base, vennero poi scoperte solo nel 1958, nuove algebre tra cui però quelle matematicamente possibili sono solo quelle ad avere dimensione 1 (valida solo per i numeri Reali), 2 (valida per i numeri Complessi), 4 e 8.
Questo e' impreciso e si capisce cosa vuoi dire solo se si sa gia' cosa vuoi dire: a parte l'evidente refuso storico (non sono le strutture ad essere state scoperte negli ann '50, ne' se ben ricordo il teorema che dice che ce ne sono solo 4, che e' dovuto a Hurwitz, e generalizzato da Frobenius). Quello che risale alla seconda meta' del '900 e' la dimostrazione del teorema di Frobenius per via omotopica, sfruttando il fatto che l'inesistenza di algebre divisorie su $\mathbb R$ e' legata all'inesistenza di fibrazioni tra sfere le cui fibre siano sfere, che generalizzano la fibrazione di Hopf. Volendo generalizzare questa costruzione a fibrazioni del tipo $\eta : S^{2n-1}\to S^n$ ci si scontra con dei problemi topologici, che hanno ripercussioni sul piano algebrico una volta che si siano operate identificazioni analoghe a quelle della fibrazione di Hopf: $S^1$ sono i numeri complessi di norma 1, $S^3$ i quaternioni, $S^7$ gli ottonioni...e poi bisogna fermarsi, perche' se procedessimo in dimensione 16 perderemmo la struttura stessa di operazione chiusa.
Col che, anche io l'ho spiegato male, ma mi sono messo a scriverlo adesso.
Hamilton arrivò ad una soluzione nel 1843 passeggiando con la moglie.
...e quindi? Cosa aggiunge questo alla discussione (o meglio: e' chiaro che vuoi riportare l'aneddoto dell'insight avuto da Hamilton, ma lo stai descrivendo in modo troppo stringato. E' piu' importante, e anche piu' suggestivo per l'ascoltatore, che tu presenti la fatica che Hamilton ha fatto per arrivare a quella intuizione. Nel profano digiuno di matematica questo instilla due riflessioni: (i) e' difficile dimostrare un teorema, anche per i grandi matematici e (ii) spesso le convenzioni culturali o i paradigmi di pensiero comune impediscono che una buona idea -e quella di Hamilton e' ottima- fluisca liberamente nel pensiero.
Le 3 dimensioni sono esprimibili da 3 numeri più un quarto e cioè il tempo, generando quindi un sistema quadridimensionale detto dei Quaternioni:
\[a + ib + jc + kd\]
dove i, j e k sono radici quadrate di -1.
E' impreciso, oltre che frettoloso: in che modo si inserisca il tempo accanto alle altre tre e' stato studiato da Einstein, ma e' davvero questa la ragione per cui i quaternioni sono legati allo spazio fisico? La risposta e' no, perche' c'e' un problema di segnatura nel prodotto scalare "ovvio" che puoi porre sui quaternioni, e il prodotto scalare -o metrica, se stai facendo RG- che metti sullo spazio di Minkowski -o sulla tua varieta' lorentziana preferita-.
L’equazione la si può immaginare applicata ad un aereo associando i numeri a beccheggio, imbardata, rollio e ad una dilatazione o una contrazione. Un uso particolare dei quaternioni è la rappresentazione delle rotazioni tridimensionali nei computer o nel controllo dell’assetto dei veicoli aerospaziali fino ad arrivare al motore grafico di un videogioco.
VIsto che solitamente un lettore profano e' interessato alle applicazioni "concrete" (qualsiasi senso abbia la parola) di una teoria, non sarebbe il caso di spendere qualche parola in piu' spiegando in che senso si possono usare dei quaternioni per rappresentare le rotazioni cui e' sottoposto un aereo che vola?
[quote]Nel 1835 il matematico-fisico William Rowan Hamilton scoprì che è possibile scrivere i numeri complessi come coppie del tipo (a, b) al posto della notazione di Argand ‘a + ib’. Questo permette di mantenere l’interpretazione geometrica rendendo però più facile sommare e sottrarre numeri complessi. Da questa base, vennero poi scoperte solo nel 1958, nuove algebre tra cui però quelle matematicamente possibili sono solo quelle ad avere dimensione 1 (valida solo per i numeri Reali), 2 (valida per i numeri Complessi), 4 e 8.
Questo e' impreciso e si capisce cosa vuoi dire solo se si sa gia' cosa vuoi dire: a parte l'evidente refuso storico (non sono le strutture ad essere state scoperte negli ann '50, ne' se ben ricordo il teorema che dice che ce ne sono solo 4, che e' dovuto a Hurwitz, e generalizzato da Frobenius). Quello che risale alla seconda meta' del '900 e' la dimostrazione del teorema di Frobenius per via omotopica, sfruttando il fatto che l'inesistenza di algebre divisorie su $\mathbb R$ e' legata all'inesistenza di fibrazioni tra sfere le cui fibre siano sfere, che generalizzano la fibrazione di Hopf. Volendo generalizzare questa costruzione a fibrazioni del tipo $\eta\colon S^{2n-1}\to S^n$ ci si scontra con dei problemi topologici, che hanno ripercussioni sul piano algebrico una volta che si siano operate identificazioni analoghe a quelle della fibrazione di Hopf: $S^1$ sono i numeri complessi di norma 1, $S^3$ i quaternioni, $S^7$ gli ottonioni...e poi bisogna fermarsi, perche' se procedessimo in dimensione 16 perderemmo la struttura stessa di operazione chiusa.
Col che, anche io l'ho spiegato male, ma mi sono messo a scriverlo adesso.
[/quote]
Ovviamente mi sono completamente perso e poi figurati di che levatura deve essere il lettore medio
[quote]Hamilton arrivò ad una soluzione nel 1843 passeggiando con la moglie.
...e quindi? Cosa aggiunge questo alla discussione (o meglio: e' chiaro che vuoi riportare l'aneddoto dell'insight avuto da Hamilton, ma lo stai descrivendo in modo troppo stringato. E' piu' importante, e anche piu' suggestivo per l'ascoltatore, che tu presenti la fatica che Hamilton ha fatto per arrivare a quella intuizione. Nel profano digiuno di matematica questo instilla due riflessioni: (i) e' difficile dimostrare un teorema, anche per i grandi matematici e (ii) spesso le convenzioni culturali o i paradigmi di pensiero comune impediscono che una buona idea -e quella di Hamilton e' ottima- fluisca liberamente nel pensiero.
[/quote]
Questo è vero ma non avevo alcuna fonte che mi permettesse di approfondire la vicenda storico umana dell'intuizione di Hamilton. Ho preferito comunque instillare la curiosità piuttosto che non farlo, scelta infelice?
[quote]Le 3 dimensioni sono esprimibili da 3 numeri più un quarto e cioè il tempo, generando quindi un sistema quadridimensionale detto dei Quaternioni:
\[a + ib + jc + kd\]
dove i, j e k sono radici quadrate di -1.
E' impreciso, oltre che frettoloso: in che modo si inserisca il tempo accanto alle altre tre e' stato studiato da Einstein, ma e' davvero questa la ragione per cui i quaternioni sono legati allo spazio fisico? La risposta e' no, perche' c'e' un problema di segnatura nel prodotto scalare "ovvio" che puoi porre sui quaternioni, e il prodotto scalare -o metrica, se stai facendo RG- che metti sullo spazio di Minkowski -o sulla tua varieta' lorentziana preferita-.
L’equazione la si può immaginare applicata ad un aereo associando i numeri a beccheggio, imbardata, rollio e ad una dilatazione o una contrazione. Un uso particolare dei quaternioni è la rappresentazione delle rotazioni tridimensionali nei computer o nel controllo dell’assetto dei veicoli aerospaziali fino ad arrivare al motore grafico di un videogioco.
VIsto che solitamente un lettore profano e' interessato alle applicazioni "concrete" (qualsiasi senso abbia la parola) di una teoria, non sarebbe il caso di spendere qualche parola in piu' spiegando in che senso si possono usare dei quaternioni per rappresentare le rotazioni cui e' sottoposto un aereo che vola?[/quote]
Accetto la frettolosità perchè in effetti alcuni degli argomenti cicati nel post necessiterebbero di un approfondimento, ma se questo vuol dire scrivere post infiniti, che stufano perchè troppo lunghi e che mi potrebbero portare verso lidi poco conosciuti, preferisco per il momento evitare l'approfondimento. Non si può esaurire uno o più argomenti in un post/articolo. Ribadisco poi che il mio intento era quello di comunicare che esiste una relazione tra gli Ottetti di Cayley e la teoria delle Stringhe... a questo punto mi viene il dubbio che il messaggio sia passato
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo